2. З. Сравнение целых чисел

Определения и обозначения

Целые числа — это положительные числа, отрицательные числа и нуль. К ним относятся, например, −4, −1, 0, 2 и 15; дроби и десятичные числа вроде ½ в это множество не входят. Целые числа нужны, чтобы описывать не только количество, но и противоположные значения: например, прибыль и долг.

Сравнение целых чисел — это установление, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Например, при сравнении −2 и 3 выясняют, какое из них расположено правее на числовой прямой. Сравнение помогает выбрать большее значение и правильно расположить числа по порядку.

Неравенство — запись результата сравнения с помощью знаков >, <, ≥ и ≤. Знак > означает «больше», < — «меньше», а ≥ и ≤ допускают также равенство. Например, 5 > 1, а запись 2 ≤ 2 показывает, что числа равны и граница включена.

Числовая прямая — это прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и направлением, на которой изображают числа. Начало отсчёта обозначают нулём, а единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами. Числовая прямая нужна, чтобы наглядно видеть порядок чисел и расстояние от них до нуля.

Как это устроено

На числовой прямой направление вправо выбирают как направление увеличения чисел. Поэтому, если идти вправо от нуля, получают 1, 2, 3 и так далее, а если влево — −1, −2, −3. Так возникает правило: число правее другого больше, а число левее — меньше.

Числа разных знаков сравнить просто, потому что нуль находится между положительными и отрицательными числами. Положительное число стоит справа от нуля, а отрицательное — слева, значит, любое положительное число больше любого отрицательного. По той же причине нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного.

Два положительных целых числа сравнивают привычным способом: больше то, у которого значение больше. На числовой прямой оно расположено дальше вправо и дальше от нуля. Например, 8 > 5: чтобы дойти от нуля до 8, нужно пройти больше единичных отрезков, чем до 5.

При сравнении отрицательных чисел порядок кажется обратным: −2 больше −7, хотя 2 меньше 7. На прямой −2 находится правее −7, потому что ближе к нулю; число −7 расположено левее. Если представить долг, то долг в 2 единицы меньше долга в 7 единиц, поэтому −2 — большее число.

Знаки сравнения можно читать в обратном порядке: если a > b, то b < a. Это одна и та же мысль, только сначала названо другое число. Чтобы проверить запись, прочитай её словами и проверь положение чисел: в верной записи большее число должно быть справа на прямой, а знак должен соответствовать словам «больше» или «меньше».

Правила сравнения целых чисел

Сначала определи, какие числа сравниваются: разных знаков, с нулём или одного знака. Затем выбери нужное правило и запиши знак между числами. Проверь, что знак можно прочитать как верное предложение, например: «−2 больше −6».

Разбор задач

Сравнить числа −4 и 3

Нужно определить, какое из чисел больше. Сначала посмотрим на их знаки: −4 — отрицательное число, а 3 — положительное. Числа разных знаков удобно сравнивать относительно нуля.

1. Отрицательное число −4 находится слева от нуля, а положительное 3 — справа.
2. Число, расположенное правее на числовой прямой, больше.
3. Значит, −4 меньше 3, и между числами ставим знак <.

Ответ: −4 < 3. Здесь не нужно сравнивать модули 4 и 3: сначала учитывают знаки чисел.

Сравнить числа −7 и −2

Оба числа отрицательные, поэтому правило для чисел разных знаков не подходит. Можно представить их на числовой прямой или сравнить, какое из них ближе к нулю. Оба способа приводят к одному результату.

1. На числовой прямой −7 находится левее −2, потому что до нуля от него больше шагов влево.
2. Число −2 ближе к нулю и расположено правее −7.
3. Правее расположено большее число, поэтому −7 меньше −2.

Ответ: −7 < −2. При сравнении отрицательных чисел нельзя переносить порядок положительных чисел без учёта знака: расстояние от нуля здесь показывает, какое число меньше.

Записать целые числа, удовлетворяющие неравенству −3 < x ≤ 2

Нужно найти все целые значения x, которые одновременно подходят под оба условия. Знак < у числа −3 не включает эту границу, а знак ≤ у числа 2 включает её. Значит, x должен быть больше −3, но не больше 2.

1. Запишем целые числа по порядку от −3 до 2: −3, −2, −1, 0, 1, 2.
2. Исключим −3, так как у него стоит строгий знак <.
3. Оставим 2, так как знак ≤ разрешает равенство с этой границей.

Ответ: x = −2, −1, 0, 1, 2. Проверка по границам помогает не потерять ни одно число: каждое из перечисленных больше −3 и не превосходит 2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что −8 > −3, потому что 8 > 3. Так происходит, когда правило для положительных чисел переносят на отрицательные, не учитывая их расположение относительно нуля. Сравни числа на прямой: −8 левее −3, значит, −8 < −3.

Ошибка: называть нуль положительным или отрицательным числом. Нуль стоит между положительными и отрицательными числами и не относится ни к одной из этих групп. Проверь себя по определению: положительные числа больше нуля, отрицательные — меньше него, а нуль равен нулю.

Ошибка: путать направление знаков > и < при чтении или записи. Обычно забывают, какой знак означает «больше», а какой — «меньше», особенно если меняют числа местами. Прочитай выражение вслух: в записи 6 > 2 должно получиться «шесть больше двух».

Ошибка: включать −3 в решения −3 < x ≤ 2 или, наоборот, исключать 2. Строгий знак < не допускает равенства с границей, а ≤ включает её. Подставь граничное число в условие: −3 не подходит, а 2 подходит.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать целые числа, нужно знать положительные и отрицательные числа, нуль, координаты точек и устройство числовой прямой. Эти правила пригодятся при решении неравенств и задач о температурах, высотах, прибылях и убытках: такие значения могут быть выше или ниже нуля. Сравнение также понадобится при изучении модуля числа, координат и действий с целыми числами.

Что запомнить

• На числовой прямой больше то число, которое расположено правее.
• Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного числа.
• Нуль больше любого отрицательного числа.
• Из двух положительных чисел больше число, расположенное дальше от нуля.
• Из двух отрицательных чисел больше число, расположенное ближе к нулю.
• Знак > означает «больше», а знак < — «меньше».
• При равенстве чисел используют знак =, а при включении границы — знаки ≥ или ≤.