"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Центральный угол имеет вершину в центре окружности, а его стороны проходят через окружность и выделяют дугу. Дуга — часть окружности между двумя точками. Её градусная мера равна мере соответствующего центрального угла: обе величины показывают, какую часть полного оборота занимает дуга. Полная окружность составляет 360°, поэтому с помощью этого числа можно находить и большую дугу, если известна меньшая.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от её центра. Центр обычно обозначают заглавной буквой, например O, а окружность с центром O называют окружностью O. Окружность удобно представлять как границу круглой фигуры: это помогает отличать её от круга.
Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности. Его стороны пересекают окружность, поэтому на ней появляются две точки. Это определение помогает отличить центральный угол от угла, вершина которого расположена на самой окружности.
Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками, которые называются концами дуги. Между одними и теми же концами обычно есть две дуги — короткая и длинная. Чтобы было ясно, какую из них имеют в виду, указывают концы и точку, лежащую на нужной дуге.
Градусная мера дуги — число градусов, равное градусной мере соответствующего центрального угла. Например, если угол равен 60°, то и мера дуги, на которую он опирается, равна 60°. Эта мера нужна, чтобы сравнивать дуги и решать задачи о частях окружности.
Две точки окружности делят её на две дуги, потому что между точками можно пройти по окружности в двух направлениях. Одна часть пути окажется короче, другая — длиннее. Поэтому одних названий концов иногда недостаточно: чтобы указать нужную дугу, добавляют точку, которая лежит именно на ней.
Центральный угол задаёт дугу, на которую он опирается: стороны угла проходят через концы этой дуги. Если мысленно двигаться от одной стороны угла к другой по окружности внутри угла, получится соответствующая дуга. Так можно увидеть связь между положением сторон угла и выбранной частью окружности.
Мера дуги равна мере соответствующего центрального угла, потому что обе величины показывают, какую часть полного оборота занимает дуга. Если угол занимает одну и ту же долю оборота, то такую же долю окружности занимает и дуга. Поэтому градусную меру дуги можно определить по углу, а меру угла — по дуге.
Полная окружность соответствует углу 360°, поскольку полный оборот возвращает луч к исходному положению. Полуокружность составляет половину полного оборота, поэтому её мера равна 180°. Эти значения служат опорой при измерении дуг: все части окружности вместе дают 360°, а половина окружности — 180°.
Если центральный угол меньше 180°, он выделяет меньшую дугу между своими концами. С этими же концами связана и большая дуга, проходящая по оставшейся части окружности. Вместе они составляют полную окружность, поэтому их меры в сумме равны 360°.
| Ситуация | Центральный угол | Соответствующая дуга |
|---|---|---|
| Как связаны величины | Мера угла | Равна мере угла |
| Полный оборот | 360° | Полная окружность — 360° |
| Половина окружности | 180° | Полуокружность — 180° |
| Меньшая и большая дуги с одинаковыми концами | Меньшему углу соответствует меньшая дуга | Меры двух дуг в сумме равны 360° |
Сначала определи, что дано: центральный угол или мера дуги. Для соответствующей дуги и угла число градусов одинаковое, а для большей дуги нужно вычесть меру меньшей из 360°. Таблица также помогает проверить, не превышает ли ответ меру полной окружности.
Задача 1. Центральный угол равен 40°. Найдите градусную меру соответствующей дуги.
Ответ: 40°.
Задача 2. Дуга окружности имеет меру 125°. Найдите градусную меру соответствующего центрального угла.
Ответ: 125°.
Задача 3. Мера меньшей дуги между двумя точками равна 148°. Найдите меру большей дуги с теми же концами.
Ответ: 212°.
Ошибочно считать центральным угол, вершина которого лежит на окружности. Так бывает, если ориентироваться только на то, что стороны пересекают окружность. Проверь положение вершины: она должна находиться точно в центре.
Дуга и центральный угол — разные геометрические объекты, хотя их градусные меры равны. Их путают, потому что для обоих используют число градусов. Проверяй, что именно требуется найти: часть окружности или угол с вершиной в центре.
При поиске большей дуги иногда записывают меру меньшей. Это происходит, если не учесть, что обе дуги вместе составляют 360°. Вычти известную меру из 360° и сложи получившийся ответ с меньшей дугой для проверки.
Нельзя всегда однозначно определить дугу только по её концам: между ними есть короткий и длинный пути по окружности. Ошибка возникает, когда не уточняют, какая часть нужна. Назови точку на нужной дуге или прямо укажи, что речь о меньшей либо большей дуге.
Для этой темы нужны знания об окружности, радиусе, угле и измерении углов в градусах. Радиус помогает представить расположение центра, а умение измерять углы позволяет сравнивать центральный угол и дугу. Если уверенно находить центр и вершину угла, проще выбрать соответствующую дугу.
Связь дуги с центральным углом пригодится при изучении длины окружности и площади круга. Зная, какую часть полного оборота занимает дуга, можно понять, какую часть всей окружности или круга рассматривают. Так тема помогает перейти от углов к измерению частей круглых фигур.
Как понять, что угол является центральным?
Посмотри, где находится вершина угла: она должна совпадать с центром окружности. Стороны такого угла пересекают окружность.
Как определить, какую дугу задаёт центральный угол?
Найди точки, в которых стороны угла пересекают окружность: они будут концами дуги. Дуга, лежащая внутри угла, и есть соответствующая ему дуга.
Почему мера дуги равна мере центрального угла?
Обе меры показывают, какую часть полного оборота занимает дуга. Полный оборот равен 360°, поэтому центральному углу в 40° соответствует дуга в 40°.
Как найти меру большей дуги, если известна меньшая?
Вычти меру меньшей дуги из 360°. Вместе большая и меньшая дуги с одинаковыми концами составляют полную окружность.
Как отличить меньшую дугу от большей, если у них одинаковые концы?
Сравни обе части окружности между концами: короткая часть — меньшая дуга, длинная — большая. Чтобы точно указать нужную дугу, назови её концы и дополнительную точку, лежащую на ней.
7.4. Центральные углы и дуги
