"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Дробь помогает описать, сколько равных частей целого рассматривают. Чтобы найти дробь от числа, целое делят на число частей, а затем берут нужное их количество. Если известна дробная часть, можно восстановить целое: сначала найти одну долю, затем собрать из долей целое. Эти действия нужны, чтобы решать задачи о длине, массе, времени, стоимости и других величинах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Часть целого — результат деления целого на равные части. Например, если целое разделить на 5 одинаковых долей, одна такая доля составляет пятую часть. В дроби 3/5 число 5 называют знаменателем: оно показывает, на сколько равных частей разделили целое. Это помогает понять, какого размера одна доля.
Дробь от числа — величина, которую получают, разделив число на знаменатель дроби и умножив результат на числитель. Например, чтобы найти 3/5 от числа 40, сначала узнают величину одной пятой, а затем берут три такие доли. Такое действие нужно, когда требуется определить часть известного количества.
Целое по его части — величина, которую находят, если известны дробная часть целого и сама дробь. Например, можно узнать длину всей ленты, если известно, что 5/8 её длины равны 35 см. Для этого сначала выясняют, сколько составляет одна доля, а потом восстанавливают все доли целого.
Чтобы найти одну из равных частей целого, число делят на знаменатель дроби. Знаменатель показывает, на сколько одинаковых долей разделили исходное число, поэтому деление распределяет всё число поровну между этими долями. Например, одна пятая от 40 равна 40 : 5 = 8. Значит, каждая из пяти равных частей имеет величину 8.
Если нужно найти не одну, а несколько таких частей, величину одной доли умножают на числитель. Числитель показывает, сколько долей берут, поэтому при числителе 3 нужно сложить три одинаковые доли, то есть умножить величину одной доли на 3. Так, три пятых от 40 равны 8 · 3 = 24. Деление и умножение выполняют именно в таком порядке, чтобы сначала узнать размер доли.
Действия можно записать одним выражением: число умножить на числитель и разделить на знаменатель. Например, 40 · 3 : 5 тоже даёт 24, потому что умножение на 3 означает взять три доли, а деление на 5 связано с разделением целого на пять частей. Для ясности часто удобнее записывать сначала деление: 40 : 5 · 3. Так легче увидеть, откуда берётся одна доля и сколько долей затем нужно взять.
Чтобы найти целое по его дробной части, сначала определяют величину одной доли. Если известно значение нескольких долей, его делят на числитель, ведь именно числитель показывает, сколько долей уже составляют известную часть. Затем величину одной доли умножают на знаменатель, чтобы собрать все доли целого. Например, если три доли равны 18, одна доля равна 18 : 3, а семь долей — это найденное значение, умноженное на 7.
Восстановление целого по его части — действие, обратное нахождению дроби от числа. Сначала делят известную часть на числитель, а затем умножают на знаменатель, тогда как при поиске дроби от числа сначала делят целое на знаменатель. Проверка устроена наоборот: от найденного целого снова находят заданную дробь. Если получилась известная часть, решение согласуется с условием задачи.
| Что требуется найти | Что известно | Порядок действий | Пример записи |
|---|---|---|---|
| Дробь числа | Число и дробь | Разделить число на знаменатель, результат умножить на числитель | a · m/n = a : n · m |
| Целое по его дроби | Значение дробной части и дробь | Разделить значение части на числитель, результат умножить на знаменатель | b : m · n, если b = m/n от целого |
Сначала определи, что требуется найти: часть известного числа или само целое. Затем выбери строку таблицы и следуй указанному порядку действий. Буквы m и n обозначают числитель и знаменатель дроби, а b — известное значение дробной части.
Нужно выяснить, чему равны три пятых числа 40. Знаменатель 5 говорит, что число делят на пять равных частей. Числитель 3 показывает, что после этого нужно взять три части.
Ответ: 24. Проверим смысл: если взять пять долей по 8, получится 40, а три такие доли составят 24.
Здесь известно значение дробной части — 18, а найти нужно всё число. По условию 18 — это три равные доли, потому что числитель дроби равен 3. Чтобы восстановить целое, сначала найдём одну долю, а затем семь таких долей, как указывает знаменатель.
Ответ: 42. Для проверки найдём 3/7 от 42: 42 : 7 · 3 = 18. Получилось число из условия, значит, целое найдено верно.
Число 35 см обозначает не всю ленту, а пять её равных долей. Поэтому нельзя сразу считать 35 см целым: сначала надо узнать длину одной доли, а потом восстановить все восемь. Такая последовательность использует числитель для поиска одной доли, а знаменатель — для сборки целого.
Ответ: 56 см. Проверим: 56 : 8 · 5 = 35 см. Значит, пять восьмых от найденной длины действительно равны отрезанным 35 см.
При нахождении дроби от числа иногда делят на числитель вместо знаменателя. Так путают количество всех равных долей с количеством долей, которые нужно взять. Вспомни: сначала находят одну долю, а число таких долей задаёт знаменатель; для проверки умножь найденную одну долю на знаменатель и получи исходное число.
При восстановлении целого можно по ошибке сначала умножить известную часть на числитель. Это неверно, потому что известное значение уже состоит из нескольких долей, число которых показывает числитель. Сначала раздели известную часть на числитель: полученное число должно быть величиной одной доли.
Другая ошибка — умножить известное значение на знаменатель, не разделив его на числитель. Тогда величину нескольких долей принимают за величину одной доли и получают слишком большое целое. Проверь порядок: деление на числитель, затем умножение на знаменатель; если результат не даёт заданную дробь, вычисления нужно пересмотреть.
Иногда ответ записывают, но не проверяют обратным действием. Тогда можно не заметить, что неверно выбраны числитель или знаменатель либо допущена вычислительная ошибка. Найди от полученного целого дробь из условия; если результат не совпал с известной частью, вернись к решению и проверь каждый шаг.
Для работы с дробью нужно знать, что показывают её числитель и знаменатель, а также уметь делить и умножать натуральные числа. Эти знания помогают не только выполнить вычисления, но и понять, почему действия идут именно в таком порядке. Если смысл дроби пока неясен, полезно сначала представить целое, разделённое на равные доли.
Такие вычисления встречаются в задачах о длине, массе, времени, стоимости и количестве предметов. Например, можно найти часть пути, массу части продукта или всю величину по известной доле. Позже похожие способы пригодятся при работе с процентами и пропорциями.
Почему при нахождении дроби от числа сначала делят на знаменатель?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое. Деление на него помогает узнать величину одной части, а затем можно взять столько частей, сколько показывает числитель.
Можно ли при нахождении дроби от числа сначала умножить число на числитель?
Можно, если затем разделить результат на знаменатель: число умножают на числитель и делят на знаменатель. Но для понимания задачи обычно удобнее сначала найти одну долю делением на знаменатель.
Как понять, что в задаче нужно найти целое по его части?
В условии уже дана величина части и сказано, какой дроби от неизвестного целого она равна. Например, известно, что 18 составляет 3/7 некоторого числа, а само число требуется найти.
Почему при нахождении целого известную часть делят на числитель?
Известная часть состоит из такого числа равных долей, какое показывает числитель. Чтобы узнать величину одной доли, нужно разделить значение всей известной части на число этих долей.
Как проверить, правильно ли найдено целое по его дробной части?
Найди от полученного целого заданную дробь: раздели его на знаменатель и умножь на числитель. Если результат равен известной части из условия, ответ верен.
37. Нахождение части целого и целого по его части
