9.4. Умножение дробей

Определения и обозначения

Умножение дробей — действие, при котором находят произведение двух дробей. Его записывают знаком · или точкой: a/b · c/d, где a/b и c/d — дроби. Эта запись показывает, что нужно выполнить одно действие с двумя множителями, а не складывать их. Умножение нужно, когда требуется найти часть от части или вычислить площадь по дробным сторонам.

Произведение дробей — результат умножения дробей. В произведении a/b · c/d числитель связан с числителями множителей, а знаменатель — со знаменателями: получается (a · c)/(b · d). Слово «числитель» означает верхнее число дроби, а «знаменатель» — нижнее. Такое обозначение помогает увидеть правило и не перепутать числа при вычислении.

Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Например, 6/8 можно разделить и сверху, и снизу на 2 и получить 3/4. Сокращают дробь, чтобы записать то же значение проще; это можно сделать до умножения или после него. Предварительное сокращение часто помогает избежать больших чисел.

Как это устроено

Представь прямоугольник со сторонами 1/2 и 1/3 единицы. Раздели единичный квадрат пополам по одной стороне и на три равные полосы по другой: получится 2 · 3 = 6 одинаковых частей. Прямоугольник со сторонами 1/2 и 1/3 занимает одну такую часть из шести, то есть 1/6 квадрата. Поэтому часть от части находят умножением знаменателей, а при дробях с другими числителями — и числителей тоже.

Правило такое: чтобы умножить дробь на дробь, умножь числитель первого множителя на числитель второго, а знаменатель первого — на знаменатель второго. Запиши два получившихся произведения одной дробью: a/b · c/d = (a · c)/(b · d). Например, 2/5 · 3/4 = (2 · 3)/(5 · 4) = 6/20. Затем проверь, можно ли сократить результат, и запиши дробь в простейшем виде.

Иногда числа удобно упростить ещё до перемножения. В дробях 3/8 и 4/9 числитель 3 и знаменатель 9 делятся на 3, а знаменатель 8 и числитель 4 делятся на 4. После сокращения этих пар произведение становится 1/2 · 1/3 = 1/6. Значение не меняется: каждое сокращение делит один множитель на число и другой — на то же число, поэтому произведение остаётся прежним. Сокращать можно только числитель с знаменателем, а не два числителя между собой.

Натуральное число можно представить дробью со знаменателем 1: например, 5 = 5/1. Поэтому 2/7 · 5 = 2/7 · 5/1 = 10/7. Можно умножить числитель дроби на натуральное число, а знаменатель оставить прежним: это тот же способ, только записанный короче. Если число и знаменатель имеют общий делитель, сначала проверь, можно ли их сократить.

Смешанные числа, в которых есть целая и дробная части, перед умножением превращают в неправильные дроби. Например, 1 1/2 = (1 · 2 + 1)/2 = 3/2. Это нужно потому, что правило умножения относится к дробям, а отдельное умножение целых и дробных частей не даёт правильного произведения. После перевода дроби перемножают, сокращают, а из неправильной дроби при необходимости выделяют целую часть.

Как умножать дроби и смешанные числа

Найди в таблице подходящий случай и выполняй действия по порядку. Перед перемножением проверь, можно ли сократить общие множители числителей и знаменателей. В конце сократи ответ и, если дробь неправильная, при необходимости выдели целую часть.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите произведение двух обыкновенных дробей: 3/7 · 14/15. Сначала выполним умножение, но заметим, что числа можно упростить заранее. Так вычисления будут короче, а результат легче проверить. После сокращения останется перемножить небольшие числа.

1. Сократим 14 и 7 на 7: получим 3/1 · 2/15.
2. Сократим 3 и 15 на 3: получим 1/1 · 2/5.
3. Перемножим числители и знаменатели: (1 · 2)/(1 · 5) = 2/5.

Ответ: 2/5. Если не сокращать заранее, получится 42/105, а после сокращения — та же дробь 2/5. Значит, предварительное сокращение меняет только удобство вычислений, но не ответ.

Задача 2. Вычислите произведение 5/12 и 18, предварительно упростив вычисления. Натуральное число представим дробью 18/1. Затем посмотрим, какие числа в числителях и знаменателях имеют общий множитель. Так можно выполнить сокращение до того, как появятся большие произведения.

1. Запишем произведение: 5/12 · 18/1.
2. Сократим 18 и 12 на 6: получим 5/2 · 3/1.
3. Перемножим: (5 · 3)/(2 · 1) = 15/2.
4. Выделим целую часть: 15/2 = 7 1/2.

Ответ: 7 1/2. Проверим: без сокращения получилось бы 90/12, и эта дробь тоже равна 7 1/2. Запись натурального числа в виде дроби позволила применить общее правило умножения.

Задача 3. Найдите произведение 1 2/3 и 2 1/4 и запишите ответ смешанным числом. Нельзя умножать целые части отдельно от дробных, поэтому сначала перепишем оба числа неправильными дробями. Перед вычислениями проверим, есть ли возможность сократить множители. В конце переведём неправильную дробь в смешанное число.

1. Преобразуем первое число: 1 2/3 = (1 · 3 + 2)/3 = 5/3.
2. Преобразуем второе: 2 1/4 = (2 · 4 + 1)/4 = 9/4.
3. Сократим 5/3 · 9/4: числа 9 и 3 делятся на 3, получаем 5/1 · 3/4.
4. Перемножим: (5 · 3)/(1 · 4) = 15/4.
5. Выделим целую часть: 15/4 = 3 3/4.

Ответ: 3 3/4. При проверке можно перемножить исходные числа как неправильные дроби: 5/3 · 9/4 = 45/12, а после сокращения это 15/4. Полученное смешанное число записывает тот же результат в более удобном виде.

Типичные ошибки

Складывают числители и знаменатели вместо перемножения. Такую ошибку допускают, когда путают правила сложения и умножения дробей. При умножении в числителе и знаменателе выполняются отдельные произведения, а не суммы. Проверь себя: в записи ответа должны появиться произведения числителей и знаменателей.

Перемножают числитель одной дроби со знаменателем другой. Например, вместо умножения числителей и знаменателей перемножают числа по диагонали. Причина — невнимательное чтение правила или попытка сократить без проверки. Подчеркни числители в исходных дробях и перемножь их между собой; затем так же поступи со знаменателями.

Сокращают только числители или только знаменатели. Такое действие меняет значение дроби, потому что делится только одна её часть. Сокращение допустимо между числителем и знаменателем на общий ненулевой делитель. Для самопроверки убедись, что в каждой сокращаемой паре одно число было числителем, а другое — знаменателем.

Умножают целые и дробные части смешанных чисел отдельно. Так делают, пытаясь применить правило к каждой части записи, но смешанное число является одним числом. До умножения переведи его в неправильную дробь по правилу: целую часть умножь на знаменатель и прибавь числитель. Проверь, что после преобразования значение числа не изменилось, и только затем умножай дроби.

Связь с другими темами

Для умножения дробей пригодится умение находить дробь от числа, сокращать дроби и переводить смешанное число в неправильную дробь. Эти действия помогают понимать смысл вычислений и выбирать удобный способ решения. Умножение дробей применяют, когда нужно найти дробь от дроби, например часть уже выделенной величины, а также при решении задач на площадь и части величин. Правило опирается на умножение натуральных чисел и подготавливает к делению обыкновенных дробей.

Что запомнить

• Чтобы умножить дроби, перемножают числители и отдельно знаменатели.
• Натуральное число можно записать дробью со знаменателем 1.
• Сокращать можно числитель и знаменатель на общий ненулевой множитель.
• Предварительное сокращение упрощает вычисления.
• Смешанные числа перед умножением переводят в неправильные дроби.
• Ответ по возможности сокращают, а для неправильной дроби выделяют целую часть.