9.3. Сложение и вычитание смешанных дробей

Определения и обозначения

Смешанное число — число, состоящее из целой части и правильной дроби, например 3 2/5. Его можно представить как сумму: 3 2/5 = 3 + 2/5. Ему соответствует неправильная дробь 17/5, поэтому смешанное число удобно использовать, когда целое и оставшаяся часть видны отдельно.

Общий знаменатель — одинаковый знаменатель, к которому приводят дроби перед сложением или вычитанием. Например, для 1/3 и 1/4 общим знаменателем может быть 12. Это нужно потому, что после приведения дроби показывают доли одинакового размера.

Правильная дробная часть результата — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, например 3/7. Смешанное число обычно записывают именно так, потому что целая часть уже вынесена отдельно, а дробь показывает остаток меньше одного целого. Если числитель не меньше знаменателя, из дроби ещё можно выделить целую часть.

Как это устроено

Смешанное число можно представить как сумму целого числа и дроби: 4 1/6 = 4 + 1/6. Поэтому при сложении отдельно объединяют целые части и отдельно — дробные. Такое разделение не меняет числа, а только делает вычисления понятнее: целые складываются с целыми, а доли — с долями.

Перед сложением или вычитанием дробные части приводят к общему знаменателю. Доли 1/2 и 1/3 имеют разный размер, поэтому сразу сравнивать или объединять их нельзя. После приведения, например 1/2 = 3/6 и 1/3 = 2/6, обе дроби говорят о шестых долях, и с их числителями можно выполнять действие.

Иногда после сложения дробных частей получается единица или больше, то есть неправильная дробь. Например, 4/5 + 3/5 = 7/5 = 1 2/5. Выделенную единицу прибавляют к сумме целых частей, потому что она полностью образует ещё одно целое.

При вычитании может оказаться, что дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Тогда одну единицу из целой части заменяют дробью с нужным знаменателем: 1 = 6/6, если работают с шестыми долями. Целая часть уменьшается на единицу, а дробная увеличивается на 6/6, поэтому значение числа сохраняется и вычитание становится возможным.

После вычислений проверяют вид ответа. Дробная часть должна быть правильной, иначе из неё нужно выделить целую часть, а дробь следует сократить, если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число. Такая проверка помогает заметить ошибки в размене единицы и привести ответ к обычной записи.

Приёмы сложения и вычитания смешанных дробей

Сначала найдите строку, которая описывает вашу задачу: сложение или вычитание, с переходом через единицу или без него. Затем выполните действия с дробными частями и соедините результат с целыми частями. В конце убедитесь, что дробь правильная и сокращена, если это возможно.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2 1/5 + 3 2/5.

Знаменатели уже одинаковые, поэтому приводить дроби к новому знаменателю не требуется. Дробные части в сумме меньше единицы, значит, дополнительный переход к целой части не понадобится.

1. Сложим целые части: 2 + 3 = 5.
2. Сложим дробные части: 1/5 + 2/5 = 3/5.
3. Объединим результаты: 5 + 3/5 = 5 3/5.

Ответ: 5 3/5.

Задача 2. Вычислите 1 3/4 + 2 2/3.

Знаменатели 4 и 3 разные, поэтому сначала выберем общий знаменатель 12. После этого станет видно, образуют ли дробные части ещё одно целое.

1. Приведём дроби: 3/4 = 9/12, а 2/3 = 8/12.
2. Сложим целые части: 1 + 2 = 3.
3. Сложим дробные части: 9/12 + 8/12 = 17/12.
4. Выделим целую часть: 17/12 = 1 5/12.
5. Прибавим её к трём: 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

Ответ: 4 5/12.

Задача 3. Вычислите 5 1/6 − 2 5/9.

Сначала приведём дробные части к общему знаменателю 18. Получится 3/18 − 10/18, и меньшую дробь нельзя вычесть из большей без размена одной целой единицы.

1. Приведём дроби: 1/6 = 3/18, а 5/9 = 10/18.
2. Займём единицу у 5: 5 3/18 = 4 + 18/18 + 3/18 = 4 21/18.
3. Вычтем целые части: 4 − 2 = 2.
4. Вычтем дробные части: 21/18 − 10/18 = 11/18.
5. Соединим результаты: 2 + 11/18 = 2 11/18.

Ответ: 2 11/18.

Типичные ошибки

Складывают или вычитают числители и знаменатели одновременно. Так делают, перенося правило сложения целых чисел на дроби, но знаменатель обозначает размер доли и не складывается. Проверьте себя на 1/2 + 1/2: правильный результат равен 1, а не 2/4.

Вычитают дробные части без общего знаменателя. Ошибка появляется, когда разные доли принимают за одинаковые. Перед действием проверьте знаменатели: если они различны, найдите общий знаменатель.

Забывают уменьшить целую часть при размене единицы. Иногда ученик добавляет к дробной части 1, но оставляет прежнюю целую часть, из-за чего число увеличивается. После записи 1 в виде дроби обязательно уменьшайте целую часть на единицу.

Оставляют неправильную дробь в смешанном числе. Это происходит, когда после сложения забывают проверить числитель. Разделите числитель на знаменатель, выделите целую часть и оставьте правильный остаток.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь складывать и вычитать обыкновенные дроби, находить общий знаменатель и выделять целую часть из неправильной дроби. Эти действия являются основой каждого шага со смешанными числами.

Навык пригодится в текстовых задачах, где складывают длины, массы, время или части пути. Он также понадобится при дальнейших действиях с дробными числами и при преобразовании смешанных чисел в неправильные дроби.

Что запомнить

• Сначала дробные части приводят к общему знаменателю.
• Целые части и дробные части складывают или вычитают отдельно.
• Если дробная часть суммы составляет целое или больше, выделяют целую часть.
• При нехватке дробной части для вычитания занимают одну единицу у целой части.
• После вычислений результат записывают как смешанное число с правильной дробной частью.
• Сокращают дробь, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.