34. Сложение и вычитание смешанных дробей

Определения и обозначения

Смешанная дробь — число, состоящее из целой части и правильной дроби, например 2 3/7. Его читают «две целых три седьмых»: сначала называют целую часть, затем дробь. Такая запись показывает сразу, сколько полных единиц и какая часть следующей единицы составляют число. Она удобна, когда величина больше единицы, но не равна целому числу.

Целая часть смешанной дроби — число единиц, содержащихся в ней полностью. Например, в числе 4 2/5 целая часть равна 4. Она нужна, чтобы сразу видеть полные единицы и отдельно выполнять действия с ними. При вычислении целые части можно складывать или вычитать отдельно от дробных, если соблюдены правила работы с дробями.

Дробная часть смешанной дроби — правильная дробь, показывающая часть единицы сверх целой части. В записи 4 2/5 это 2/5, то есть две из пяти равных долей следующей единицы. Числитель говорит, сколько таких долей взято, а знаменатель — на сколько равных частей разделена единица. Дробная часть помогает учесть то, что остаётся после полных единиц.

Неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, например 9/7. Она может обозначать одну или несколько целых единиц и ещё часть единицы: 9/7 = 1 2/7. Чтобы перейти к смешанной дроби, числитель делят на знаменатель; остаток становится числителем дробной части. Это пригодится, когда при сложении дробных частей получается неправильная дробь.

Как это устроено

При сложении смешанных дробей отдельно складывают целые и дробные части. Причина в том, что смешанное число можно представить как сумму этих частей: например, 2 3/7 = 2 + 3/7. Поэтому можно объединить полные единицы с полными единицами, а доли — с долями. В конце проверяют, не образовалась ли из дробных частей ещё одна целая единица.

Если у дробных частей разные знаменатели, перед сложением их приводят к общему знаменателю. Иначе доли имеют разный размер: например, четверть и треть нельзя посчитать как одинаковые кусочки. Равные дроби с общим знаменателем показывают доли одинакового размера, поэтому их числители можно складывать. Например, 1/4 + 2/3 = 3/12 + 8/12 = 11/12.

Иногда сумма дробных частей становится неправильной дробью. Это означает, что в ней содержится одна или несколько целых единиц, которые нельзя оставлять спрятанными в дробной части смешанного ответа. Выделите их делением числителя на знаменатель и прибавьте полученные единицы к сумме целых частей. Так ответ будет записан как смешанное число с правильной дробью.

При вычитании, если дробная часть уменьшаемого не меньше дробной части вычитаемого, части можно вычитать отдельно. Сначала уравняйте знаменатели, чтобы вычитать доли одного размера, затем вычтите дробные части и целые части. Например, из 5/6 можно вычесть 1/3, потому что 5/6 = 5/6, а 1/3 = 2/6. В результате следите, чтобы дробная часть ответа оставалась правильной.

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, дробных долей для вычитания не хватает. Тогда одну целую единицу уменьшаемого заменяют дробью с общим знаменателем: например, 1 = 12/12. Целую часть уменьшают на единицу, а эти 12/12 прибавляют к дробной части. Значение числа не изменилось, но теперь дробную часть можно вычесть.

Способы сложения и вычитания смешанных дробей

Найдите в таблице случай, который подходит к примеру, и выполняйте действия по указанному порядку. В последней строке собраны действия, которые нужны, если после вычисления дробная часть оказалась неправильной. Перед записью ответа проверьте, что знаменатель общий, а дробная часть оформлена правильно.

Разбор задач

Вычислите 2 3/7 + 1 2/7. Знаменатели дробных частей одинаковые, поэтому можно складывать их числители, не меняя знаменатель. Одновременно сложим целые части. Проверим сумму дробей: она меньше единицы, значит, дополнительную целую часть выделять не придётся.

1. Сложим целые части: 2 + 1 = 3.
2. Сложим дробные части: 3/7 + 2/7 = 5/7.
3. Объединим результаты: 3 + 5/7 = 3 5/7.

Ответ: 3 5/7. Дробная часть 5/7 правильная, потому что её числитель меньше знаменателя. Значит, результат уже записан как смешанное число. При одинаковых знаменателях доли имеют одинаковый размер, поэтому складываются только числители.

Вычислите 3 1/4 + 2 2/3. Здесь дробные части выражены в долях разного размера, поэтому сначала приведём их к общему знаменателю. Для 4 и 3 подходит знаменатель 12. После сложения дробей проверим, не стала ли сумма неправильной.

1. Сложим целые части: 3 + 2 = 5.
2. Приведём дроби к знаменателю 12: 1/4 = 3/12, 2/3 = 8/12.
3. Сложим дробные части: 3/12 + 8/12 = 11/12.
4. Объединим части: 5 + 11/12 = 5 11/12.

Ответ: 5 11/12. Числитель 11 меньше знаменателя 12, значит, дробная часть правильная. В этом примере сумма дробных частей не образовала целую единицу, поэтому целая часть осталась равна 5. Если бы числитель оказался не меньше знаменателя, нужно было бы выделить из дроби целые единицы.

Вычислите 5 1/6 − 2 3/4. Сначала приведём дроби к общему знаменателю 12. Получатся 2/12 и 9/12, и дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Поэтому займём одну единицу из числа 5: заменим её на 12/12 и прибавим к 2/12.

1. Приведём дроби к общему знаменателю: 1/6 = 2/12, 3/4 = 9/12.
2. Уменьшим целую часть уменьшаемого на единицу: 5 станет 4.
3. Прибавим занятую единицу к дробной части: 2/12 + 12/12 = 14/12.
4. Вычтем дробные части и целые части: 14/12 − 9/12 = 5/12; 4 − 2 = 2.

Ответ: 2 5/12. Занятая единица не исчезла: она была представлена как 12/12 и добавлена к дробной части. Поэтому число, из которого вычитали, сохранило своё значение. Полученная дробь 5/12 правильная, и сократить её нельзя.

Типичные ошибки

Нельзя складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями. Например, 1/5 + 2/5 — это 3/5, а не 3/10: знаменатель показывает размер долей. Так ошибаются, перенося правило сложения целых чисел на дроби. Проверьте себя: при одинаковых знаменателях доли остаются прежнего размера.

Дробные части с разными знаменателями нельзя складывать или вычитать сразу. Например, четверти и трети — кусочки разного размера, поэтому сначала нужно выразить их долями одного размера. Ошибка возникает, если смотреть только на числители и забыть о знаменателе. Для проверки перепишите дроби с общим знаменателем и убедитесь, что они равны исходным.

Если в ответе получилась неправильная дробь, нельзя всегда оставлять её дробной частью смешанного числа. Например, 9/7 — это 1 2/7, то есть целая единица и ещё две седьмых. Неправильную дробь легко пропустить, если проверить только вычисление числителя. Убедитесь, что в смешанном ответе числитель дробной части меньше знаменателя.

При вычитании с переходом через целую часть недостаточно уменьшить целую часть уменьшаемого на единицу. Эту единицу нужно прибавить к дробной части в виде дроби с общим знаменателем. Если забыть это сделать, значение уменьшаемого станет меньше, и ответ будет неверным. Проверьте преобразование: например, 5 2/12 = 4 14/12.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь складывать и вычитать обыкновенные дроби, приводить их к общему знаменателю и выделять целую часть из неправильной дроби. Эти навыки становятся основой вычислений со смешанными числами. Смешанные дроби встречаются в задачах о величинах, измеряемых целыми и дробными единицами, например о длине или массе. Освоенные приёмы помогут дальше выполнять действия с рациональными числами и решать более сложные задачи с дробями.

Что запомнить

• Смешанное число состоит из целой и дробной частей.
• При сложении и вычитании дробные части с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю.
• При сложении целые и дробные части удобно обрабатывать отдельно.
• Неправильную дробь в результате сложения можно преобразовать в смешанную.
• Если дробной части уменьшаемого не хватает для вычитания, одну целую единицу заменяют дробью.
• После вычислений проверьте, что дробная часть ответа правильная и сокращена, если это возможно.