6.7. Сложение и вычитание смешанных дробей

Определения и обозначения

Смешанное число — число, состоящее из целой части и правильной дроби. Запись 2 3/5 означает 2 + 3/5: две целые единицы и ещё три пятых одной единицы. Такое представление удобно, когда целое уже выделено из неправильной дроби.

Сложение смешанных чисел — нахождение их суммы. Сначала дробные части приводят к общему знаменателю, затем отдельно складывают целые и дробные части. Это помогает не смешивать разные виды слагаемых и правильно записать результат.

Вычитание смешанных чисел — нахождение разности, то есть числа, которое получится, если из одного смешанного числа убрать другое. Если дробной части уменьшаемого недостаточно, одну целую единицу заменяют дробью. Благодаря этому дробные части можно вычесть.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь — замена равного ему смешанного числа дробью, у которой числитель больше знаменателя. Например, 2 3/5 = (2 · 5 + 3)/5 = 13/5. Такое преобразование удобно для проверки вычислений и некоторых действий с дробями.

Как это устроено

Если дробные части имеют общий знаменатель, они обозначают доли одинакового размера. Поэтому их можно сложить по правилу обыкновенных дробей: сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Целые части при этом считают отдельно, потому что целая единица не зависит от числа долей в дробной части.

При разных знаменателях доли имеют разный размер, поэтому сразу складывать или вычитать их нельзя. Дроби приводят к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель на одно и то же число. Значение каждой дроби сохраняется, ведь умножение числителя и знаменателя на одинаковый множитель не меняет её величину.

Иногда после сложения дробных частей получается неправильная дробь, например 9/5. Это значит, что в ней есть целая единица: 9/5 = 1 4/5. Выделенную единицу прибавляют к сумме целых частей, чтобы итог снова был записан как смешанное число.

При вычитании дробная часть уменьшаемого может быть не меньше дробной части вычитаемого. Тогда целые части вычитают друг из друга, дробные части — друг из друга, а результаты соединяют. Например, в выражении 6 7/9 − 2 4/9 можно сразу получить (6 − 2) + (7/9 − 4/9).

Если дробная часть уменьшаемого меньше, прямое вычитание не получится. Одну единицу берут из целой части и представляют дробью со знаменателем дробных частей: например, 1 = 12/12. Целая часть уменьшается на 1, а к дробной части добавляется 12/12; значение всего смешанного числа остаётся прежним.

Сложение и вычитание смешанных чисел

В таблице указано, что делать в разных случаях. Сначала определите, одинаковы ли знаменатели и хватает ли дробной части для вычитания. Затем выполните действие с дробями и проверьте, не появилась ли целая часть.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 2 1/5 + 3 2/5. Знаменатели дробных частей одинаковые, поэтому приводить их к общему знаменателю не требуется. Выполним сложение отдельно для целых и дробных частей.

1. Складываем целые части: 2 + 3 = 5.
2. Складываем дробные части: 1/5 + 2/5 = 3/5.
3. Объединяем результаты: 5 + 3/5 = 5 3/5.

Ответ: 5 3/5. Дробная часть правильная, поэтому дополнительно выделять целую единицу не нужно.

Задача 2. Вычислить 1 1/3 + 2 3/4. Знаменатели 3 и 4 разные, значит, сначала приведём дроби к знаменателю 12. После сложения дробных частей проверим, не получилась ли неправильная дробь.

1. Преобразуем дроби: 1/3 = 4/12, а 3/4 = 9/12.
2. Складываем части: 1 + 2 = 3 и 4/12 + 9/12 = 13/12.
3. Выделяем целую часть: 13/12 = 1 1/12, поэтому 3 + 1 1/12 = 4 1/12.

Ответ: 4 1/12. Единица, выделенная из суммы дробей, перешла к целым частям.

Задача 3. Вычислить 5 1/6 − 2 3/4. Сначала приведём дробные части к знаменателю 12. После этого станет видно, что 2/12 меньше 9/12, поэтому потребуется занять одну целую единицу.

1. Получаем 1/6 = 2/12 и 3/4 = 9/12.
2. Занимаем единицу: 5 2/12 = 4 14/12, так как 1 = 12/12.
3. Вычитаем: 4 − 2 = 2 и 14/12 − 9/12 = 5/12.

Ответ: 2 5/12. Целая часть уменьшаемого стала на единицу меньше, а к его дробной части добавилось 12/12.

Типичные ошибки

Складывают или вычитают числители и знаменатели одновременно. Так поступают, перенося правило сложения целых чисел на дроби. Проверьте себя: при сложении или вычитании дробей с общим знаменателем меняется числитель, а знаменатель остаётся прежним.

Действуют с дробями с разными знаменателями без приведения. Ошибка возникает потому, что ученик сразу видит числители и начинает считать. Перед действием найдите общий знаменатель и замените обе дроби равными им дробями.

Оставляют неправильную дробь после сложения. Например, результат 3 + 13/12 ещё не является удобной записью смешанного числа. Разделите числитель на знаменатель и перенесите выделенную целую часть к целым.

Занимают единицу, но не уменьшают целую часть. Иногда забывают, что взятая единица исчезает из целой части, или заменяют её дробью с неверным знаменателем. Проверьте запись: 5 2/12 должно превратиться в 4 14/12, а не остаться с целой частью 5.

Связь с другими темами

До изучения этой темы нужно уметь складывать и вычитать обыкновенные дроби, приводить их к общему знаменателю и выделять целую часть неправильной дроби. Эти навыки составляют основу всех действий со смешанными числами.

Смешанные числа встречаются в задачах о длине, массе, времени и других величинах. Позже те же приёмы помогут понимать действия с рациональными числами, среди которых есть и положительные, и отрицательные числа.

Что запомнить

• Смешанное число состоит из целой части и дробной части.
• При разных знаменателях дробные части сначала приводят к общему знаменателю.
• При сложении целые и дробные части складывают отдельно.
• Если сумма дробных частей не меньше единицы, из неё выделяют целую часть.
• При вычитании, если дробной части не хватает, занимают одну единицу у целой части.
• После вычислений по возможности сокращают дробь и проверяют, что дробная часть ответа правильная.