6.8. Умножение и деление смешанных дробей

Определения и обозначения

Смешанная дробь — это запись числа, состоящая из целой части и правильной дроби, например 2 2/5. Её можно представить одной неправильной дробью: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель, а знаменатель оставляют прежним. Так запись 2 2/5 превращается в (2 · 5 + 2)/5 = 12/5, и число можно вычислять по правилам дробей.

Умножение смешанных дробей — действие, при котором смешанные дроби сначала переводят в неправильные, а затем перемножают числители и знаменатели. Например, 1 1/2 · 2 1/3 записывают как 3/2 · 7/3. Такой способ учитывает целые и дробные части одновременно и помогает не пропустить слагаемые, которые возникли бы при отдельном умножении частей.

Деление смешанных дробей — действие, при котором делимое умножают на дробь, обратную делителю. Обратная дробь получается перестановкой числителя и знаменателя, например обратная к 3/2 — это 2/3. Делитель не может быть равен нулю: деление на ноль не определено, поэтому нельзя заменить его умножением на обратную дробь.

Как это устроено

Перед умножением смешанные дроби удобно переводить в неправильные, потому что целая часть на самом деле тоже состоит из долей того же размера, что и дробная. В записи 2 1/3, например, целая часть 2 — это 6/3, поэтому всё число равно 7/3. Если умножать части по отдельности, можно забыть произведения целой части на дробную. Перевод в одну дробь собирает число целиком и делает вычисление надёжным.

Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, умножь целую часть на знаменатель: так узнаешь, сколько долей укладывается в целой части. Затем прибавь числитель, который показывает дополнительные доли, и запиши полученную сумму над прежним знаменателем. Например, 3 3/4 = (3 · 4 + 3)/4 = 15/4. Знаменатель не меняется, потому что размер долей остаётся тем же.

После перевода умножай неправильные дроби: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Можно сначала сократить дроби, если числитель одной и знаменатель другой делятся на одно и то же число без остатка. Это уменьшает числа в вычислениях, но результат будет тем же, что и при сокращении после умножения. Например, 3/2 · 7/3 = 7/2: тройки сокращаются.

Чтобы разделить смешанные дроби, сначала преврати обе в неправильные, а затем замени деление умножением на обратную дробь делителя. Делимое остаётся первым множителем, а числитель и знаменатель делителя меняются местами. Например, 15/4 : 3/2 = 15/4 · 2/3. Правило работает только при ненулевом делителе: у нуля нет обратной дроби, и делить на него нельзя.

В конце сократи полученную дробь, если у числителя и знаменателя есть общий делитель. Если числитель больше знаменателя, можно выделить целую часть: разделить числитель на знаменатель, а остаток записать числителем дробной части. Затем оцени ответ: при умножении чисел больше единицы произведение должно быть больше каждого множителя, а при делении полезно проверить, сколько раз одна величина содержится в другой. Такая проверка помогает заметить ошибку в вычислении или в смысле задачи.

Алгоритмы умножения и деления смешанных дробей

Сначала найди строку, соответствующую действию, и выполни подготовку: смешанные числа нужно представить неправильными дробями. При делении отдельно проверь, что делитель не равен нулю, и переворачивай только его. Последний шаг для обоих действий — проверить сокращение и подходящую запись ответа.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 1 1/2 · 2 1/3. Смешанные числа неудобно перемножать прямо, поэтому сначала заменим каждое одной неправильной дробью. Затем применим правило умножения дробей и проверим, можно ли сократить ответ. Результат оставим в виде смешанного числа, если дробь окажется неправильной.

1. Переводим первое число: 1 1/2 = (1 · 2 + 1)/2 = 3/2. Второе: 2 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/3.
2. Перемножаем числители и знаменатели: 3/2 · 7/3 = 21/6. Можно заранее заметить общий множитель 3 у числителя 3 и знаменателя 3.
3. Сокращаем 21/6 на 3: получаем 7/2. Выделяем целую часть: 7/2 = 3 1/2.

Ответ: 3 1/2.

Задача 2. Вычислите 3 3/4 : 1 1/2. При делении мы выясняем, сколько раз делитель содержится в делимом. Оба числа сначала переведём в неправильные дроби, а затем перевернём именно вторую дробь. Полученное произведение сократим и запишем удобным способом.

1. Переводим числа: 3 3/4 = (3 · 4 + 3)/4 = 15/4; 1 1/2 = (1 · 2 + 1)/2 = 3/2.
2. Заменяем деление умножением на обратную дробь делителя: 15/4 : 3/2 = 15/4 · 2/3.
3. Сокращаем 15 и 3 на 3, а 2 и 4 на 2. Получаем 5 · 1/(2 · 1) = 5/2 = 2 1/2.

Ответ: 2 1/2.

Задача 3. Для 2 2/5 м ткани используют 1 1/5 м на одно изделие. На сколько изделий хватит ткани? Чтобы узнать количество изделий, нужно общий запас разделить на расход для одного изделия. Расход положительный, значит делитель не равен нулю и деление допустимо. Проверим результат по смыслу: число изделий должно быть целым, если ткань расходуется точно на каждое изделие.

1. Составляем выражение: 2 2/5 : 1 1/5.
2. Переводим числа: 2 2/5 = 12/5, а 1 1/5 = 6/5. Делитель 6/5 не равен нулю.
3. Заменяем деление умножением на обратную дробь: 12/5 · 5/6. Сокращаем пятёрки и затем 12/6: получаем 2.
4. Полученное целое число означает, что запаса хватает ровно на два изделия.

Ответ: на 2 изделия.

Типичные ошибки

Умножать отдельно целые и дробные части. Так можно забыть произведения целой части одного числа на дробную часть другого, поэтому результат выйдет неверным. Ошибку допускают, перенося на дроби привычное сложение смешанных чисел. Проверь себя: каждое смешанное число перед умножением должно быть целиком записано одной неправильной дробью.

Забывать прибавить числитель при переводе. Если умножить целую часть на знаменатель и не прибавить числитель, потеряются доли сверх целого числа. Например, 2 2/5 — это не 10/5, а 12/5. Чтобы проверить перевод, раздели полученную дробь на знаменатель или сравни её с исходным числом.

Переворачивать делимое при делении. Обратной делают дробь делителя, то есть второго числа; первое число остаётся на месте. Эту ошибку легко допустить, потому что правило часто вспоминают коротко: «перевернуть дробь». Подпиши в выражении, где делимое и где делитель, а после замены проверь, что порядок чисел не изменился.

Не сокращать дробь или неверно выделять целую часть. Несокращённый ответ может быть правильным, но его запись не завершена; неверное деление числителя на знаменатель меняет само значение. Например, 7/2 — это 3 1/2, потому что остаток равен 1. Проверь сокращение общим делителем, а при выделении целой части умножь знаменатель на полученное целое число и прибавь остаток: должна вернуться исходная дробь.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь переводить смешанное число в неправильную дробь и обратно: эти навыки нужны в начале и в конце вычисления. Также пригодятся умножение и деление обыкновенных дробей, сокращение и правило обратной дроби. Освоенные действия помогают решать задачи о величинах, расходе и количестве частей: например, находить число изделий по запасу материала и расходу на одно изделие.

Что запомнить

• Перед умножением смешанные дроби переводят в неправильные.
• При умножении перемножают числители и знаменатели.
• Деление заменяют умножением на дробь, обратную делителю.
• На ноль делить нельзя.
• Сокращать дробь можно до или после перемножения.
• Неправильную дробь в ответе при необходимости записывают смешанным числом.