§ 2. Отрицательные дроби

Определения и обозначения

Отрицательная дробь — это дробь со знаком минус, которая обозначает число меньше нуля, например −2/5. Минус можно поставить перед всей дробью или перед числителем: −2/5 = (−2)/5. Такое обозначение помогает показать, что число находится по другую сторону от нуля, чем положительные дроби.

Положительная дробь — дробь больше нуля, записанная без знака минус, например 2/5. Она отличается от −2/5 только знаком, а её числовое значение показывает расстояние до нуля. Положительные дроби — это обычные дроби, которые не снабжены знаком минус.

Противоположные числа — числа, отличающиеся только знаками; их сумма равна нулю. Например, −3/7 и 3/7 противоположны, потому что −3/7 + 3/7 = 0. Это понятие нужно, чтобы находить число на таком же расстоянии от нуля, но с другой стороны.

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби, в том числе со знаком минус. К рациональным относят положительные и отрицательные дроби, целые числа и ноль. Объединение этих чисел в одно множество удобно, когда нужно сравнивать их или выполнять с ними действия.

Как это устроено

Отрицательную дробь записывают со знаком минус перед дробью: например, −4/9. Минус можно перенести к числителю или знаменателю: −4/9 = (−4)/9 = 4/(−9). Это происходит потому, что знак относится ко всему значению дроби, а не только к месту, рядом с которым он написан. Если числитель и знаменатель положительные, но перед дробью стоит минус, дробь всё равно отрицательна.

Чтобы отметить отрицательную дробь на координатной прямой, сначала найдите ноль, а затем двигайтесь влево. Например, для −2/5 нужно отложить от нуля расстояние 2/5 в левую сторону. Причина в том, что положительное направление принято направлять вправо, а отрицательное — влево. Поэтому расстояние до нуля задаёт дробь 2/5, а знак определяет сторону.

Сравнивать две отрицательные дроби удобно через их модули. Модуль — это расстояние от числа до нуля, поэтому он не бывает отрицательным. Если модуль одной дроби больше, она расположена левее и сама дробь меньше: например, −5/8 < −3/8. Значит, при сравнении отрицательных чисел порядок их модулей нужно обратить.

Число, противоположное отрицательной дроби, получают заменой минуса на плюс. Например, числу −7/10 противоположно 7/10, потому что их сумма равна нулю. На координатной прямой эти числа отстоят от нуля на одинаковое расстояние, но лежат по разные стороны. Поэтому при переходе к противоположному числу меняется знак, а величина расстояния сохраняется.

Целое число можно записать дробью со знаменателем 1: например, 6 = 6/1, а −6 = −6/1. Такая запись показывает, что целые числа и дроби можно рассматривать вместе. Числа, представимые в виде дроби с целым числителем и ненулевым целым знаменателем, называют рациональными. К ним относятся также дроби со знаком и ноль, который можно записать как 0/1.

Положительные и отрицательные дроби

Используйте таблицу, чтобы сначала определить знак числа, а затем его положение относительно нуля. В строке о противоположном числе смотрите, какой знак нужно изменить, не меняя числитель и знаменатель. Для сравнения двух отрицательных дробей дополнительно сравните их модули.

Разбор задач

Запишите дробь 3/7 как отрицательную и укажите, где это число находится относительно нуля на координатной прямой.

Нужно получить число, противоположное положительной дроби 3/7. Для этого оставим числитель и знаменатель прежними, а перед дробью поставим минус. Знак сразу показывает, с какой стороны от нуля нужно искать число.

1. Записываем отрицательную дробь: −3/7.
2. Так как дробь меньше нуля, отмечаем её слева от нуля.
3. Расстояние от точки до нуля равно 3/7.

Ответ: −3/7; число находится слева от нуля на расстоянии 3/7.

Сравните числа −2/5 и −3/5.

Обе дроби отрицательные, поэтому их нельзя сравнивать так же, как положительные. Сначала сопоставим расстояния до нуля: 2/5 меньше 3/5. На прямой −3/5 окажется левее −2/5, значит, оно меньше.

1. Сравниваем модули: 2/5 < 3/5.
2. У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число.
3. Следовательно, −2/5 > −3/5.

Ответ: −2/5 > −3/5.

Расположите числа −5/6, −1/3 и 0 в порядке возрастания и укажите число, противоположное −5/6.

Возрастание означает расположение от меньшего числа к большему, то есть слева направо. Ноль больше любой отрицательной дроби, поэтому сначала упорядочим дробные числа. Чтобы сравнить их, приведём расстояния до нуля к шестым: 1/3 = 2/6, и модуль 5/6 больше.

1. Сравниваем модули: 5/6 > 2/6.
2. Среди отрицательных чисел меньшим будет число с большим модулем: −5/6 < −1/3.
3. Ноль больше обеих отрицательных дробей, поэтому порядок такой: −5/6, −1/3, 0.
4. Меняем знак у −5/6, чтобы найти противоположное число: получаем 5/6.

Ответ: −5/6, −1/3, 0; противоположное число — 5/6.

Типичные ошибки

Ошибка — считать дробь положительной, если её числитель и знаменатель положительны, и не замечать минус перед дробью. Так происходит, когда внимание сосредоточено только на числителе и знаменателе. Проверяйте знак всего числа: если перед дробью есть минус, она меньше нуля.

Ошибка — считать, что отрицательная дробь с большим модулем больше. Можно допустить её, если сравнивать только положительные значения дробей и забыть о направлении на прямой. Проверка простая: из двух отрицательных чисел дальше от нуля находится меньшее, потому что оно расположено левее.

Ошибка — путать противоположное число с обратной дробью. При поиске обратной дроби переставляют числитель и знаменатель, а при поиске противоположной меняют только знак. Проверьте результат: противоположные числа должны отличаться знаком, а их сумма должна равняться нулю.

Ошибка — размещать отрицательную дробь справа от нуля из-за положительных числителя и знаменателя. Эти числа задают величину дроби, но направление задаёт знак перед ней. Чтобы проверить себя, вспомните: справа от нуля находятся числа больше нуля, а отрицательные числа всегда слева.

Связь с другими темами

Для работы с отрицательными дробями нужно уметь читать обыкновенные дроби и сравнивать их. Также пригодится навык отмечать числа на координатной прямой: он помогает увидеть, где расположены дроби и какое число больше. Если дроби требуют приведения к общему знаменателю, это умение помогает сравнить их модули.

Эта тема продолжает изучение отрицательных чисел и противоположных чисел. Раньше можно было рассматривать противоположные целые числа, а теперь то же правило применяется к дробям. Так понятие противоположности становится шире.

Дроби со знаком входят в множество рациональных чисел вместе с целыми числами и нулём. Это представление пригодится при сравнении рациональных чисел и выполнении действий с ними. Запись целого числа в виде дроби со знаменателем 1 помогает применять общие правила к разным числам.

Что запомнить

• Отрицательная дробь меньше нуля.
• Знак минус можно записать перед дробью или перед её числителем.
• На координатной прямой отрицательные дроби расположены левее нуля.
• Из двух отрицательных дробей меньше та, у которой больше модуль.
• Противоположные числа отличаются только знаком.
• Целое число можно записать в виде дроби со знаменателем 1.