29. Сложение и вычитание смешанных чисел

Определения и обозначения

Смешанное число — число, состоящее из целой и дробной частей, например 3 2/5. Его читают: «три целых две пятых», а записывают как сумму 3 + 2/5. Такая запись удобна, когда величина содержит целое число единиц и ещё часть единицы.

Сложение смешанных чисел — действие, при котором складывают целые части и дробные части чисел. Например, в выражении 2 1/5 + 3 2/5 отдельно получают 2 + 3 и 1/5 + 2/5. Если знаменатели различаются, дроби перед сложением приводят к общему знаменателю.

Вычитание смешанных чисел — действие, при котором из уменьшаемого вычитают вычитаемое, работая с целыми и дробными частями. Когда дробной части уменьшаемого не хватает, одну целую единицу занимают у его целой части. Это позволяет выполнить вычитание дробей без изменения значения числа.

Как это устроено

Смешанное число можно представить как сумму двух слагаемых: целой части и дробной. Например, 4 3/8 = 4 + 3/8. Поэтому при сложении можно сначала объединить целые части, а потом дробные: (4 + 3) + (3/8 + 1/8).

Дроби с разными знаменателями нельзя складывать напрямую, потому что их доли имеют разный размер. Сначала находят общий знаменатель и заменяют дроби равными им дробями. Например, 1/3 = 4/12, а 3/4 = 9/12, поэтому 1/3 + 3/4 = 4/12 + 9/12 = 13/12.

Иногда сумма дробных частей оказывается неправильной дробью, то есть её числитель не меньше знаменателя. В такой дроби содержится целая единица или несколько целых единиц. Например, 13/12 = 1 1/12, поэтому эту единицу нужно прибавить к уже полученной целой части.

Если дробная часть уменьшаемого не меньше дробной части вычитаемого, заём не нужен. Дробные части вычитают отдельно, затем отдельно вычитают целые части. Например, в 6 5/7 − 2 3/7 дробей 5/7 достаточно, чтобы вычесть 3/7.

Если дробной части уменьшаемого не хватает, одну целую единицу берут из его целой части. Единицу записывают дробью с нужным знаменателем: 1 = 6/6 или 1 = 10/10. Затем эту дробь прибавляют к дробной части уменьшаемого, а целую часть уменьшают на единицу.

Правила сложения и вычитания смешанных чисел

Найдите в таблице случай, похожий на вашу задачу, и выполните действия в указанном порядке. После вычислений обязательно проверьте, правильно ли записана дробная часть и не нужно ли выделить из неё целую единицу.

Разбор задач

1. Вычислите 2 1/5 + 3 2/5.

Знаменатели дробных частей одинаковые, поэтому приводить дроби к новому знаменателю не требуется.

1. Складываем целые части: 2 + 3 = 5.
2. Складываем дробные части: 1/5 + 2/5 = 3/5.
3. Объединяем результаты: 5 + 3/5 = 5 3/5.

Ответ: 5 3/5.

2. Вычислите 1 1/3 + 2 3/4.

Знаменатели 3 и 4 разные, поэтому сначала приводим дробные части к общему знаменателю 12.

1. Получаем 1/3 = 4/12, а 3/4 = 9/12.
2. Складываем дроби: 4/12 + 9/12 = 13/12 = 1 1/12.
3. Складываем целые части вместе с выделенной единицей: 1 + 2 + 1 = 4.
4. Записываем результат: 4 1/12.

Ответ: 4 1/12.

3. Вычислите 5 1/6 − 2 2/3.

Сначала приводим 2/3 к знаменателю 6: 2/3 = 4/6. Дробь 1/6 меньше 4/6, поэтому без займа вычесть нельзя.

1. Занимаем единицу у числа 5: 5 1/6 = 4 + 6/6 + 1/6 = 4 7/6.
2. Вычитаем дробные части: 7/6 − 4/6 = 3/6 = 1/2.
3. Вычитаем целые части: 4 − 2 = 2.
4. Объединяем части: 2 1/2.

Ответ: 2 1/2.

Типичные ошибки

Складывают или вычитают дроби с разными знаменателями напрямую. Так делают, потому что хочется быстрее выполнить действие, но доли разного размера складывать нельзя. Проверьте себя: если знаменатели различаются, сначала ищите общий знаменатель.

Оставляют неправильную дробь в дробной части ответа. Ошибка появляется, когда забывают, что, например, 8/5 содержит одну целую единицу. Проверьте числитель: если он не меньше знаменателя, выделите целую часть.

Занимают единицу, но не переводят её в дробь. Нельзя просто прибавить единицу к числителю: нужно записать 1 как дробь с нужным знаменателем, например 6/6. После этого дробная часть должна увеличиться ровно на одну целую.

Не уменьшают целую часть после займа. Занятая единица берётся из целой части уменьшаемого, поэтому она уменьшается на 1. Проверить результат можно сложением: разность и вычитаемое должны дать исходное уменьшаемое.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь складывать и вычитать обыкновенные дроби, находить общий знаменатель и выделять целую часть из неправильной дроби. Эти навыки превращают действия со смешанными числами в знакомые действия с дробями.

Смешанные числа встречаются в задачах о длине, массе, времени и других величинах, измеренных целыми и дробными единицами. Например, можно узнать общий путь, сложив километры и части километра, или найти остаток материала вычитанием.

Что запомнить

• При сложении смешанных чисел складывают целые и дробные части.
• Дроби с разными знаменателями перед сложением или вычитанием приводят к общему знаменателю.
• Если сумма дробных частей составляет целую единицу или больше, целую часть выделяют и прибавляют к результату.
• Если дробной части уменьшаемого недостаточно, занимают одну единицу из его целой части.
• Занятую единицу записывают дробью, равной единице и имеющей нужный знаменатель.
• Вычитание проверяют сложением: разность и вычитаемое должны дать уменьшаемое.