§ 6. Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, дробь 7/10 записывают как 0,7, а 23/100 — как 0,23. Запятая заменяет запись знаменателя и помогает сразу увидеть, какая часть целого взята. Такой способ удобен для сравнения и вычислений.

Десятичная запись — это запись числа, в которой целая часть отделена запятой от дробной. Если целой части нет, перед запятой пишут 0: например, 0,4. Цифры справа от запятой показывают доли единицы: первая — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. По ним можно прочитать число и понять, на какие части разделена единица.

Разряды десятичной дроби — это места, которые занимают цифры в целой и дробной частях числа. Слева от запятой находятся единицы, десятки, сотни и другие разряды, а справа — десятые, сотые, тысячные. Например, в числе 3,47 цифра 4 обозначает десятые, а 7 — сотые. Названия разрядов помогают складывать и вычитать цифры одного вида.

Равные десятичные дроби имеют одинаковое значение, хотя число цифр после запятой у них может различаться. Например, 0,5 = 0,50, потому что пять десятых — это то же количество, что пятьдесят сотых. Нули в конце дробной части можно дописать или убрать, не меняя число. Это свойство используют, чтобы подготовить дроби к сложению или вычитанию.

Как это устроено

Чтобы обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100 или 1000 записать десятичной дробью, считают нули в знаменателе: столько цифр должно быть после запятой. Например, у знаменателя 100 два нуля, поэтому дробь 7/100 записывается с двумя цифрами после запятой: 0,07. Если цифр в числителе недостаточно, слева от него дописывают нули. Так сохраняются нужные разряды: 5/100 — это 0,05, а не 0,5.

Десятичные дроби можно складывать и вычитать так же, как натуральные числа, потому что в каждом разряде складываются или вычитаются одинаковые по величине доли. Десятые нужно считать с десятыми, а сотые — с сотыми. Для этого числа записывают одно под другим, совмещая запятые. Тогда цифры в вертикальных столбцах соответствуют одним и тем же разрядам.

Перед сложением удобно уравнять число знаков после запятой: к более короткой дробной части дописать нули. Затем поставь запятые одну под другой и складывай цифры справа налево, как в натуральных числах. Если в разряде получилась сумма 10 или больше, единицы перенеси в следующий разряд слева. Такой порядок не позволяет перепутать десятые с сотыми.

При вычитании сначала тоже уравнивают число знаков после запятой и совмещают запятые. Вычитай по разрядам справа налево. Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, займи единицу из соседнего старшего разряда: одна десятая равна десяти сотым, а одна сотая — десяти тысячным. Поэтому после заимствования в текущем разряде появляется 10 единиц этого разряда, а в старшем разряде цифра уменьшается на 1.

Запятая в ответе остаётся на том же месте относительно разрядов, что и в записанных столбиком числах. Когда запятые исходных дробей стоят друг под другом, граница между целой частью и дробной тоже оказывается на одной вертикали. Поэтому запятую результата ставят прямо под ними. Это правило позволяет не превратить, например, десятые в целые единицы и сохранить правильное значение ответа.

Запись и действия с десятичными дробями

Пользуйся таблицей как короткой памяткой перед вычислениями: сначала выбери подходящую ситуацию, затем выполни действие. Особенно внимательно проверяй, стоят ли одинаковые разряды друг под другом. В конце проверь положение запятой и разумность ответа.

Разбор задач

Задача 1. Записать дробь 37/100 десятичной дробью и назвать разряды её цифр. Знаменатель 100 показывает, что целое разделили на сотые доли, значит, после запятой нужны две цифры. Числитель 37 уже содержит две цифры, поэтому записываем его после запятой. Получаем 0,37: ноль перед запятой показывает, что целых единиц нет.

1. У знаменателя 100 два нуля — записываем две цифры после запятой.
2. Записываем дробь как 0,37.
3. Цифра 3 стоит в разряде десятых, цифра 7 — в разряде сотых.

Ответ: 37/100 = 0,37; 3 — десятые, 7 — сотые. Названия разрядов определяем, считая цифры справа от запятой.

Задача 2. Вычислить 4,6 + 2,35. В первом слагаемом после запятой одна цифра, во втором — две, поэтому сначала сделаем число знаков одинаковым. Допишем к 4,6 ноль: 4,6 = 4,60. Теперь можно совместить запятые и складывать каждый разряд с одноимённым.

1. Записываем: 4,60 + 2,35.
2. Складываем сотые: 0 + 5 = 5; десятые: 6 + 3 = 9.
3. Складываем целые единицы: 4 + 2 = 6, запятую ставим под запятыми.

Ответ: 6,95. Ноль в записи 4,60 нужен для удобного расположения разрядов, но значение первого слагаемого он не меняет.

Задача 3. Вычислить 12,04 − 7,586. Чтобы одинаковые разряды оказались один под другим, дополним уменьшаемое нулём: 12,040 − 7,586. Вычитаем справа налево, выполняя заимствование там, где в уменьшаемом цифра меньше. Особенно внимательно нужно пройти через нулевые разряды.

1. Записываем числа с запятыми друг под другом: 12,040 − 7,586.
2. В тысячных 0 − 6 выполнить нельзя. Занимаем через нулевые разряды: из 2 сотен сотых получаем 1 сотую и 10 десятых сотых; после последовательного заимствования в тысячных оказывается 10, а цифра сотых уменьшается.
3. Продолжаем вычитание по разрядам: получаем 454 тысячных в дробной части и 4 целых.
4. Ставим запятую под запятыми и записываем результат.

Ответ: 4,454. Проверка сложением: 4,454 + 7,586 = 12,040, то есть исходное уменьшаемое. При проверке также видно, что ноль, дописанный в конце дробной части, можно оставить или отбросить.

Типичные ошибки

Ошибка: записать запятые не друг под другом, ориентируясь на крайние цифры. Тогда, например, десятые одного числа могут оказаться под сотыми другого, и вычисление даст неверный ответ. Так происходит, если смотреть на длину записей, а не на разряды. Проверь столбик: запятые и одинаковые разряды должны располагаться на одной вертикали.

Ошибка: считать, что нули для уравнивания можно дописывать только перед числом. Нули перед числом меняют или не меняют его в зависимости от записи целой части, а для уравнивания дробей нужны нули именно в конце дробной части. Например, 3,4 = 3,40, а не 3,04. Проверь себя: обе записи должны обозначать одинаковое число десятых.

Ошибка: поставить запятую в ответе наугад или забыть её совсем. Тогда результат может оказаться в десять или сто раз больше либо меньше нужного. Часто это случается, когда считают только цифры и не следят за разрядами. Проверь, что запятая ответа стоит прямо под запятыми исходных чисел.

Ошибка: при вычитании забыть занять единицу или неверно уменьшить старший разряд. Из-за этого в одном разряде вычитают большую цифру из меньшей без изменения соседнего разряда. Заимствованная единица превращается в 10 единиц текущего разряда, а старший разряд уменьшается на 1. После вычисления проверь результат сложением: разность и вычитаемое должны дать уменьшаемое.

Связь с другими темами

Для десятичных дробей нужны знания о разрядах натуральных чисел, делении на 10, 100 и 1000 и смысле обыкновенной дроби. Запись через запятую связана с равными дробями: знаменатели 10, 100 и 1000 показывают, сколько цифр ставить после запятой. Десятичные дроби помогают выполнять точные измерения и денежные расчёты. Эти же разряды понадобятся, когда ты будешь изучать умножение и деление десятичных дробей.

Что запомнить

• Знаменателю 10 соответствует одна цифра после запятой, 100 — две, 1000 — три.
• Нули в конце дробной части можно дописывать и отбрасывать, не меняя значения дроби.
• Перед сложением или вычитанием запиши запятые друг под другом.
• При необходимости уравняй число знаков после запятой нулями.
• Вычисляй по разрядам, как с натуральными числами.
• В результате поставь запятую под запятыми исходных дробей.