30. Десятичная запись дробных чисел

Определения и обозначения

Десятичная дробь — дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее. Например, 7/10 и 23/100 — десятичные дроби. Такие знаменатели удобны тем, что их можно выразить единицей с одним или несколькими нулями, а дробь — записать короче.

Десятичная запись дробного числа — запись, в которой целая и дробная части разделены запятой. Например, число 3 4/10 записывают как 3,4. Эта запись помогает быстро увидеть, сколько в числе целых единиц и какую часть единицы оно содержит.

Десятичные разряды — позиции цифр после запятой: десятые, сотые, тысячные и далее. Первая цифра показывает десятые, следующая — сотые, третья — тысячные. Знание разрядов помогает правильно записывать дробь и понимать значение каждой цифры.

Целая и дробная части числа — части записи по разные стороны запятой. В числе 12,35 целая часть равна 12, а дробная запись — 35 сотых. Такое разделение нужно, чтобы не перепутать целое количество единиц с частью единицы.

Как это устроено

Дроби со знаменателями 10, 100 и 1000 можно записывать десятичными дробями, потому что знаменатель показывает, на сколько равных частей разделена единица. Если единицу разделить на 10 частей, одна часть будет десятой; если на 100 — сотой. Поэтому числитель обозначает количество таких долей, а запись с запятой позволяет сохранить их значение без черты дроби.

Знаменатель помогает понять, сколько цифр нужно оставить после запятой. В знаменателе 10 один ноль, значит, достаточно одного десятичного разряда; в 100 два нуля — нужны два разряда. Например, 6/100 — это шесть сотых, поэтому записывают 0,06, а не 0,6: ноль показывает, что десятых нет.

Запятая отделяет целую часть от дробной, потому что цифры слева от неё считают целые единицы, а цифры справа — доли единицы. У правильной дроби целых единиц нет, но запись всё равно должна ясно показывать место запятой. Поэтому перед ней ставят ноль: 7/10 записывают как 0,7, а не просто ,7.

В смешанном числе целая часть уже известна, поэтому её записывают перед запятой. Затем дробную часть переводят по знаменателю в цифры после запятой, сохраняя нужное число разрядов. Например, в числе 5 3/100 целая часть равна 5, а дробная — три сотых, поэтому получается 5,03.

Нули в дробной части нужны, когда без них цифры займут неправильные разряды. В записи 2,05 ноль показывает отсутствие десятых, а цифра 5 стоит в разряде сотых. Нули в конце дробной части, напротив, можно убрать или дописать: 0,5 и 0,50 равны, потому что обе записи обозначают пять десятых.

Десятичные разряды и соответствующие дроби

Сначала найди в таблице разряд последней цифры после запятой: он подскажет знаменатель дроби. Затем прочитай цифры после запятой как числитель, не забывая о нулях внутри записи. Для смешанного числа отдельно учитывай целую часть, стоящую слева от запятой.

Разбор задач

Запишите дроби 7/10, 23/100 и 406/1000 в виде десятичных дробей.

Сначала смотрим на знаменатель: его нули указывают количество цифр после запятой. Если числитель короче этого количества, перед ним в дробной части нужны нули. Так мы сохраняем правильное значение долей единицы.

1. Для 7/10 знаменатель содержит один ноль, значит, после запятой будет одна цифра. Записываем 7 в разряде десятых: 7/10 = 0,7.
2. Для 23/100 нужны две цифры после запятой. Числитель уже состоит из двух цифр, поэтому получаем 23/100 = 0,23.
3. У дроби 406/1000 три нуля в знаменателе и три цифры в числителе. Записываем все цифры после запятой: 406/1000 = 0,406.

Ответ: 0,7; 0,23; 0,406.

Запишите смешанные числа 4 3/10, 8 27/100 и 12 5/1000 в десятичном виде.

Смешанное число содержит целую часть и обыкновенную дробь. Целая часть останется слева от запятой, а дробь задаст цифры справа. Для дробной части отводим столько разрядов, сколько нулей стоит в знаменателе.

1. В числе 4 3/10 целая часть равна 4, а дробь 3/10 занимает один разряд. Получаем 4,3.
2. В числе 8 27/100 целая часть равна 8, а две цифры числителя занимают два разряда. Получаем 8,27.
3. В числе 12 5/1000 дробная часть должна занимать три разряда. Дополняем числитель слева двумя нулями: 5/1000 = 0,005, поэтому всё число равно 12,005.

Ответ: 4,3; 8,27; 12,005.

Представьте числа 0,406 и 7,03 в виде обыкновенных дробей или смешанных чисел.

Чтобы выполнить обратный перевод, смотрим на последнюю цифру справа от запятой. Она показывает, в каком разряде заканчивается дробная часть, а значит, помогает выбрать знаменатель. Целую часть, если она есть, записываем отдельно.

1. В числе 0,406 последняя цифра стоит в разряде тысячных, поэтому знаменатель будет 1000. Числитель образуют цифры после запятой: 0,406 = 406/1000.
2. В числе 7,03 последняя цифра стоит в разряде сотых, значит, знаменатель дробной части равен 100. Целая часть равна 7, а дробная — 3/100.
3. Объединяем части числа 7,03 и получаем смешанное число 7 3/100. Ноль в записи 0,03 нужен, чтобы показать отсутствие десятых.

Ответ: 406/1000; 7 3/100.

Типичные ошибки

Ошибка: записать 3/100 как 0,3. Так происходит, если учитывать числитель, но забыть про два нуля в знаменателе. Получается не три сотых, а три десятых; для проверки посчитай нужное число цифр после запятой — их должно быть две: 0,03.

Ошибка: пропустить ноль внутри дробной части и написать 2,05 как 2,5. Ноль кажется лишним, но он показывает, что десятых нет, и оставляет цифру 5 в разряде сотых. Сверь число знаков после запятой со знаменателем: для сотых нужны два знака.

Ошибка: не поставить ноль перед запятой в записи правильной дроби, например написать ,7. Это делают, считая, что ноль ничего не меняет, но без него запись выглядит неполной и запятую легче не заметить. Проверяй, есть ли перед запятой целая часть; если её нет, напиши 0.

Ошибка: смешать целую и дробную части или поставить запятую не после целого числа. Например, в числе 12 5/1000 целая часть — 12, а дробная запись — 005, поэтому верный результат 12,005. Чтобы проверить себя, отдели части мысленно и убедись, что после запятой ровно три цифры.

Связь с другими темами

Для записи десятичных дробей нужно уметь распознавать обыкновенные и смешанные дроби со знаменателями 10, 100 и 1000. Также пригодится знание разрядного состава натуральных чисел: значение цифры зависит от её позиции. Например, цифра 5 обозначает пять десятых в числе 0,5 и пять сотых в числе 0,05. Десятичная запись понадобится при сравнении и действиях с десятичными дробями, а также при записи величин, например длины или массы.

Что запомнить

• Десятичная дробь имеет знаменатель 10, 100, 1000 и так далее.
• Число цифр после запятой определяется числом нулей в знаменателе.
• Первая цифра после запятой обозначает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные.
• Целую и дробную части числа разделяют запятой.
• Если целой части нет, перед запятой пишут ноль.
• Нули в конце десятичной записи можно дописывать или убирать без изменения числа.