§ 4. Десятичная запись дробных чисел

Определения и обозначения

Десятичная дробь — дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее. Например, 7/10, 23/100 и 5/1000 являются десятичными дробями. Такое строение знаменателя позволяет записывать дробь коротко, используя запятую.

Десятичная запись дробного числа — представление числа с целой и дробной частями, разделёнными запятой. В записи 4,25 число 4 — целая часть, а 25 — цифры дробной части. Эта форма удобна для вычислений и сравнения чисел.

Разряды десятичной дроби — десятые, сотые, тысячные и последующие доли единицы. Они идут после запятой слева направо: первая цифра показывает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. По разрядам можно понять значение каждой цифры.

Конечная десятичная дробь — десятичная дробь, запись которой содержит конечное число знаков после запятой. Например, 0,6 и 2,375 имеют конечную запись. Это значит, что после последней цифры не требуется продолжать запись новыми ненулевыми цифрами.

Как это устроено

Дробь со знаменателем 10 показывает, на сколько равных частей разделили единицу: 7/10 — это семь десятых, поэтому записывается как 0,7. В дроби со знаменателем 100 единицу разделили на сто частей, и числитель показывает число сотых: 23/100 = 0,23. Для знаменателя 1000 нужны три цифры после запятой: 5/1000 = 0,005, потому что пять тысячных занимают третий разряд.

Цифры после запятой получают своё значение благодаря месту, а не только своему виду. Первая позиция означает десятые, ведь одна цифра там связана со знаменателем 10; вторая — сотые, поскольку знаменатель становится 100. Поэтому в числе 0,408 цифра 4 обозначает четыре десятых, 0 — ноль сотых, а 8 — восемь тысячных.

Смешанное число состоит из целой и дробной частей. Сначала дробную часть переводят в десятичную: 47/100 превращается в 0,47, затем целую часть ставят перед запятой и получают 3,47. Целая часть показывает полные единицы, а цифры справа от запятой — оставшуюся часть единицы.

Ноль внутри записи нельзя пропускать, потому что он сохраняет место разряда. В числе 0,05 ноль означает отсутствие десятых, а цифра 5 стоит в разряде сотых; запись 0,5 уже означает пять десятых. Нули справа от последней цифры, наоборот, можно добавлять: 0,5 = 0,50, так как пять десятых равны пятидесяти сотым.

Для обратного перевода считают цифры после запятой и выбирают знаменатель из единицы и нужного числа нулей. Так, 0,408 превращается в 408/1000, потому что после запятой три цифры. Затем обыкновенную дробь сокращают, разделив числитель и знаменатель на общий делитель: 408/1000 = 51/125.

Разряды и способы записи десятичных дробей

Сначала определите, о каком разряде говорится, затем найдите соответствующий знаменатель. Если известен знаменатель, по нему легко узнать количество знаков после запятой. Таблица также помогает не перепутать, например, одну десятую и одну сотую.

Разбор задач

Задача 1. Записать дробь 7/10 в виде десятичной дроби и прочитать полученное число. Знаменатель 10 указывает на разряд десятых, поэтому числитель нужно поставить в первую позицию после запятой. Полученная запись содержит ноль целых и семь десятых.

1. Определяем знаменатель: 10 соответствует десятым.
2. Ставим цифру 7 на первое место после запятой.
3. Записываем число 0,7 и читаем его: «ноль целых семь десятых».

Ответ: 7/10 = 0,7; ноль целых семь десятых.

Задача 2. Представить число 3 47/100 в десятичной записи. Дробная часть имеет знаменатель 100, значит, в записи нужны две цифры после запятой. После перевода дробной части соединяем её с целой частью 3.

1. Переводим 47/100: это 0,47, то есть сорок семь сотых.
2. Ставим целую часть слева от запятой.
3. Получаем 3,47 и проверяем: число больше 3, но меньше 4.

Ответ: 3 47/100 = 3,47.

Задача 3. Перевести число 0,408 в обыкновенную дробь и сократить результат. После запятой три цифры, поэтому знаменателем будет 1000. Ноль в середине сохраняется при записи числа 408, но затем дробь можно сократить.

1. Записываем в числителе цифры после запятой: 408.
2. Берём знаменатель 1000: 0,408 = 408/1000.
3. Делим числитель и знаменатель на 8: 408/1000 = 51/125.

Ответ: 0,408 = 51/125.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Дробь 3/100 записывают как 0,3, потому что смотрят только на числитель. Но знаменатель 100 требует разряда сотых, поэтому верно 0,03. Проверьте себя: после запятой должно быть две цифры.

Ошибка 2. В записи 0,05 пропускают ноль и получают 0,5. Так десятичные превращаются в пять десятых вместо пяти сотых, то есть число увеличивается в десять раз. Проверьте место цифры: 5 должна стоять второй после запятой.

Ошибка 3. Дроби сравнивают по количеству знаков после запятой. Число знаков можно изменить нулями справа, например 0,7 = 0,70, поэтому сравнивать нужно значения разрядов. Удобно сначала выровнять количество знаков.

Ошибка 4. При обратном переводе всегда берут знаменатель 10 или 100. Знаменатель зависит от количества цифр после запятой: для 0,36 нужен 100, а для 0,125 — 1000. Пересчитайте знаки перед записью дроби.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь сокращать обыкновенные дроби, выделять целую часть и понимать доли единицы. Эти навыки объясняют, откуда берутся знаменатели 10, 100 и 1000 и как проверять обратный перевод.

Десятичная запись нужна для сравнения, сложения и вычитания десятичных дробей. Она также помогает округлять числа, потому что каждая цифра сразу показывает свой разряд.

Десятичные числа встречаются при измерениях длины, массы и времени, в денежных величинах и процентах. Например, стоимость 12,50 рубля или длина 1,25 м записываются именно таким способом.

Что запомнить

• Знаменатель 10 соответствует десятым, 100 — сотым, 1000 — тысячным.
• Первая цифра после запятой обозначает десятые.
• Нули внутри десятичной записи пропускать нельзя.
• Нули в конце десятичной дроби можно приписывать или отбрасывать без изменения числа.
• Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, знаменателем берут 1 с таким количеством нулей, сколько знаков после запятой.
• Целая и дробная части десятичной записи разделяются запятой.