11. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Определения и обозначения

Общий знаменатель — число, на которое можно заменить знаменатели данных дробей, не изменяя их значения. Например, для дробей 1/2 и 1/3 общим знаменателем будет 6. Он нужен, чтобы сравнивать дроби или выполнять с ними действия, ведь одинаковые знаменатели означают одинаковый размер дробных частей.

Наименьший общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей дробей, используемое для удобного сравнения и вычислений. Например, для знаменателей 6 и 8 это число 24. Чем меньше общий знаменатель, тем обычно меньше числа в вычислениях и тем проще проверить ответ.

Дополнительный множитель — число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы получить нужный знаменатель. Если знаменатель дроби 5, а общий знаменатель 20, дополнительный множитель равен 4. Он показывает, во сколько раз нужно увеличить числитель вместе со знаменателем, чтобы сохранить значение дроби.

Приведение дробей к общему знаменателю — замена дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Например, 1/2 и 1/3 можно заменить дробями 3/6 и 2/6. После такой замены дроби удобно сравнивать, складывать и вычитать, потому что их части имеют одинаковый размер.

Как это устроено

Дробь не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число. Это следует из основного свойства дроби: дробная черта означает деление, а делимое и делитель увеличиваются одинаково, поэтому частное остаётся прежним. Например, 1/3 = 2/6, потому что и числитель, и знаменатель умножили на 2. Так можно заменить неудобный знаменатель другим, не изменив количество, которое обозначает дробь.

Общий знаменатель можно подобрать двумя способами. Самый простой — перемножить знаменатели: например, для 4 и 7 подойдёт 28, потому что оно делится на оба числа. Но если знаменатели имеют общий множитель, произведение может оказаться больше необходимого. Тогда ищут наименьшее общее кратное: для 6 и 8 это 24, а не 48, поэтому считать с ним удобнее.

Чтобы получить дополнительный множитель, общий знаменатель делят на прежний знаменатель дроби. Например, для дроби 3/8 при общем знаменателе 24 нужно вычислить 24 : 8 = 3. Затем на 3 умножают и числитель, и знаменатель: 3/8 = 9/24. Если умножить только знаменатель, дробь изменит своё значение, поэтому важно преобразовывать оба числа.

После приведения дробей к общему знаменателю их части становятся одинаковыми по размеру. Значит, сравнивать нужно, сколько таких частей взято: больше та дробь, у которой числитель больше. Например, 5/12 меньше 7/12, потому что пять одинаковых частей меньше семи. Сами числители дробей с разными знаменателями напрямую сравнивать нельзя: одна треть, например, больше двух пятых, хотя её числитель меньше.

При сложении дробей с общим знаменателем считают общее количество одинаковых частей, а при вычитании — сколько таких частей останется. Поэтому складывают или вычитают числители, а знаменатель сохраняют. Например, 3/10 + 4/10 = 7/10, а 8/10 − 3/10 = 5/10. Полученную дробь при необходимости сокращают, то есть делят числитель и знаменатель на одно и то же число.

Сравнение и действия с дробями с разными знаменателями

Сначала определи, какое действие нужно выполнить, а затем подготовь дроби так, чтобы знаменатели совпали. В строке «Выбор общего знаменателя» можно проверить, не взято ли лишнее число вместо наименьшего общего кратного. После вычисления проверь, можно ли сократить ответ.

Разбор задач

Сравнить 3/4 и 5/6

Знаменатели 4 и 6 разные, поэтому сначала нужно представить дроби одинаковыми по размеру частями. Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 равно 12. Тогда достаточно сравнить числители получившихся дробей.

1. Общий знаменатель — 12, так как 12 делится и на 4, и на 6.
2. Для 3/4 дополнительный множитель равен 12 : 4 = 3, поэтому 3/4 = 9/12.
3. Для 5/6 дополнительный множитель равен 12 : 6 = 2, поэтому 5/6 = 10/12.
4. Сравниваем числители: 9 < 10, значит, 9/12 < 10/12.

Ответ: 3/4 < 5/6. Мы сравнили не исходные числители 3 и 5, а числители равных исходным дробей с одинаковыми знаменателями. Это важно, потому что при разных знаменателях дробные части имеют неодинаковый размер.

Вычислить 2/3 + 3/8

Чтобы сложить дроби, нужно узнать, сколько одинаковых частей составляют обе дроби вместе. Наименьшее общее кратное 3 и 8 равно 24, поэтому обе дроби удобно выразить в двадцать четвёртых. После этого складываем числители и проверяем, не нужно ли записать результат смешанным числом.

1. Находим общий знаменатель: 3 · 8 = 24. Здесь произведение является наименьшим общим кратным.
2. Преобразуем первую дробь: 24 : 3 = 8, значит, 2/3 = 16/24.
3. Преобразуем вторую дробь: 24 : 8 = 3, значит, 3/8 = 9/24.
4. Складываем числители: 16/24 + 9/24 = 25/24.
5. Выделяем целую часть: 25/24 = 1 1/24.

Ответ: 1 1/24. Проверка: сложили дроби, сумма которых больше единицы, поэтому результат больше 1. Получившееся число этому условию соответствует.

Вычислить 2 1/6 − 5/8

Смешанное число удобно сначала заменить неправильной дробью: так вычитание станет действием с двумя дробями. Затем понадобится общий знаменатель для 6 и 8. Так как дробная часть уменьшаемого меньше вычитаемой дроби, после приведения к общему знаменателю придётся занять одну целую.

1. Переводим смешанное число в неправильную дробь: 2 1/6 = (2 · 6 + 1)/6 = 13/6.
2. Находим общий знаменатель: наименьшее общее кратное 6 и 8 равно 24.
3. Приводим дроби: 13/6 = 52/24, а 5/8 = 15/24.
4. Вычитаем: 52/24 − 15/24 = 37/24.
5. Выделяем целую часть: 37/24 = 1 13/24.

Ответ: 1 13/24. Проверка помогает оценить результат: из числа 2 1/6 вычли число меньше единицы, значит, ответ должен быть больше 1. Дробь 13/24 уже несократима, поэтому результат можно оставить в таком виде.

Типичные ошибки

Ошибка — складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями. Например, запись 1/4 + 1/4 = 2/8 неверна: знаменатель показывает размер частей, а не их количество. Такая ошибка возникает, когда правило воспринимают как действие отдельно с верхними и нижними числами. Проверь себя: после приведения к общему знаменателю складываются только числители, а знаменатель остаётся прежним.

Ошибка — умножать на дополнительный множитель только знаменатель. Тогда дробь перестаёт быть равной исходной, ведь меняется размер частей, но числитель не пересчитывается. Так бывает, если сосредоточиться только на получении нужного знаменателя. Проверь преобразование: числитель и знаменатель должны быть умножены на одно и то же число.

Ошибка — сравнивать числители дробей, у которых разные знаменатели. Числитель показывает количество частей, но не сообщает их размер: две части из трёх могут быть больше трёх частей из пяти. Обычно ошибку допускают, перенося правило сравнения чисел на дроби. Для проверки сначала приведи дроби к общему знаменателю и только потом сравни числители.

Ошибка — неверно находить дополнительный множитель. Например, при общем знаменателе 24 для дроби со знаменателем 8 нужно взять 24 : 8 = 3, а не 24 − 8 и не 8 : 24. Путаница возникает, когда не проверяют связь между старым и новым знаменателями. Умножь найденный множитель на прежний знаменатель: результат должен равняться общему знаменателю.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны основное свойство дроби, сокращение дробей, а также умение умножать и делить натуральные числа. Основное свойство позволяет менять знаменатель, не меняя дробь, а знание кратных помогает быстро выбрать общий знаменатель. Сокращение пригодится, чтобы записать итог проще.

Приведение к общему знаменателю понадобится и дальше: при сравнении обыкновенных дробей, действиях с ними и решении уравнений с дробями. Если уравнение содержит дроби, одинаковые знаменатели помогают аккуратно выполнять вычисления и находить неизвестное. Поэтому полезно каждый раз проверять и преобразование дробей, и итоговый ответ.

Что запомнить

• Равные дроби можно получить, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число.
• Для сравнения дробей с разными знаменателями сначала приведи их к общему знаменателю.
• При равных знаменателях больше та дробь, у которой больше числитель.
• При сложении дробей с общим знаменателем складывай числители.
• При вычитании дробей с общим знаменателем вычитай числители.
• Наименьший общий знаменатель помогает избежать лишних вычислений.
• Ответ при необходимости сократи или запиши смешанным числом.