3. Умножение дробей

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь — это запись вида a/b, где a называют числителем, а b — знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Например, в дроби 3/5 целое разделили на пять частей и взяли три. Знаменатель не может быть равен нулю: разделить целое на ноль равных частей невозможно.

Произведение дробей — результат умножения одной дроби на другую. Например, в записи 2/3 · 1/4 произведением будет число, которое получится после умножения этих дробей. Такое действие нужно, когда требуется найти часть от уже взятой части, а не сложить две доли. Знак · обозначает умножение.

Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель. Например, дробь 6/8 можно разделить сверху и снизу на 2 и получить 3/4. Значение дроби при этом не меняется, потому что числитель и знаменатель изменяются во столько же раз. Сокращение помогает записать ответ проще и выполнять вычисления с меньшими числами.

Как это устроено

Представь прямоугольник, разделённый на четыре равные горизонтальные полосы, и выдели одну из них: это 1/4 прямоугольника. Теперь раздели весь прямоугольник на три равные вертикальные части и возьми одну из них внутри выделенной полосы. Прямоугольник окажется разделён на 4 · 3 равных маленьких частей, а нужная область составит одну из них, то есть 1/12. Так видно, почему умножение дробей помогает найти часть от части.

Для дробей a/b и c/d результат можно понять похожим образом: число выбранных частей определяется произведением числителей, а общее число равных частей — произведением знаменателей. Поэтому правило такое: числитель умножают на числитель, знаменатель — на знаменатель, то есть a/b · c/d = (a · c)/(b · d). Например, 2/3 · 3/5 означает взять две трети от трёх пятых. После умножения нужно проверить, можно ли сократить получившуюся дробь.

Натуральное число тоже можно записать дробью: например, 6 = 6/1, ведь деление на 1 не меняет число. Тогда при умножении дроби на натуральное число работает то же правило: числители умножаются, а знаменатель на 1 не меняется. Например, 2/5 · 6 = 2/5 · 6/1 = 12/5. Если задача просит найти дробь от числа, именно такое умножение и выполняют.

Перед умножением удобно поискать общие множители у числителей и знаменателей. Например, в произведении 3/8 · 4/9 можно разделить 3 и 9 на 3, а 4 и 8 на 4, ещё до умножения. Тогда вместо больших произведений останется вычислить 1/2 · 1/3. Это работает, потому что сокращение делит числитель и знаменатель на одно и то же число и сохраняет значение дроби.

Смешанное число состоит из целой части и дробной, поэтому перед умножением его переводят в неправильную дробь. Для этого целую часть умножают на знаменатель и к результату прибавляют числитель; знаменатель оставляют прежним. Так запись становится одной дробью и к ней можно применить общее правило умножения. Если итоговая неправильная дробь больше единицы, из неё при необходимости выделяют целую часть.

Как умножать дроби

Пользуйся таблицей как коротким планом: сначала определи, какие числа даны, затем выбери подходящую строку. Перед вычислением проверь, можно ли сократить общие множители. После умножения приведи ответ к удобному виду.

Разбор задач

Вычислите 2/3 · 3/5. Здесь перемножаются две обыкновенные дроби, поэтому отдельно работаем с числителями и знаменателями. Сначала выполним действие по правилу, затем проверим полученный результат на сокращение.

1. Перемножим числители: 2 · 3 = 6.
2. Перемножим знаменатели: 3 · 5 = 15, поэтому получаем 6/15.
3. Сократим числитель и знаменатель на 3: 6/15 = 2/5.

Ответ: 2/5. Проверка показывает, что исходные доли меньше единицы, а их произведение тоже меньше единицы. Полученная дробь уже не сокращается.

Найдите 3/4 от 20. Слова «3/4 от 20» означают, что нужно взять три четверти числа 20. Значит, задачу можно записать умножением 3/4 · 20. Представим число дробью со знаменателем 1, чтобы применить общее правило.

1. Запишем 20 как 20/1: 3/4 · 20/1.
2. Сократим 20 и 4 на 4: получим 3/1 · 5/1.
3. Перемножим: 3 · 5 = 15.

Ответ: 15. Это разумный результат: три четверти числа меньше самого числа 20. Сокращение до умножения помогло не получать крупные числа.

Вычислите 1 2/3 · 2 1/4. В каждой записи есть целая и дробная часть, поэтому сначала превратим оба числа в неправильные дроби. После этого можно применить правило умножения. Сократим общие множители до вычисления, чтобы упростить счёт.

1. Преобразуем числа: 1 2/3 = (1 · 3 + 2)/3 = 5/3, а 2 1/4 = (2 · 4 + 1)/4 = 9/4.
2. Запишем произведение 5/3 · 9/4 и сократим 9 и 3 на 3: получим 5/1 · 3/4.
3. Перемножим: 5 · 3 / (1 · 4) = 15/4. Выделим целую часть: 15/4 = 3 3/4.

Ответ: 3 3/4. Смешанные числа были заменены неправильными дробями до умножения, поэтому целые части учтены. Итог можно записать и как 15/4, и как 3 3/4.

Типичные ошибки

Иногда перемножают числитель первой дроби со знаменателем второй, будто считают крест-накрест. Но при умножении каждый числитель умножается на другой числитель, а каждый знаменатель — на другой знаменатель. Эту ошибку допускают, если путают разные действия с дробями. Проверь запись по правилу a/b · c/d = (a · c)/(b · d).

Другая ошибка — складывать числители и знаменатели, например считать 1/2 · 1/3 равным 2/5. Так поступают, перенося сюда правило сложения дробей, хотя в задаче требуется умножение. Проверь знак действия и вычисли числитель и знаменатель отдельно. Для этого примера верный результат — 1/6.

Нельзя сокращать слагаемые или любые числа, которые просто стоят рядом. Сокращают только общие множители числителя и знаменателя; например, в дроби (2 + 4)/6 нельзя зачеркнуть 2 и 6, потому что 2 входит в сумму. Такая ошибка появляется, когда не различают сложение и умножение. Перед сокращением представь, какие именно числа перемножаются, и проверь, делятся ли оба множителя на одно и то же число.

При умножении смешанных чисел нельзя просто перемножить целые части и дробные части отдельно: так можно потерять часть значения. Сначала переведи каждое смешанное число в неправильную дробь и лишь затем перемножай. После преобразования проверь, что числитель получился из целой части, умноженной на знаменатель, и прибавленного числителя. В конце реши, нужно ли выделить целую часть ответа.

Связь с другими темами

Для умножения дробей нужно знать, где у дроби числитель и знаменатель, уметь сокращать дроби и перемножать натуральные числа. Если эти действия пока вызывают трудности, потренируй их отдельно. Они станут опорой для вычислений с дробями.

Умножение помогает находить дробь от числа и решать задачи, где требуется вычислить часть величины. Например, чтобы найти три четверти от 20, записывают 3/4 · 20. Так можно работать с длиной, массой, временем и другими величинами.

Позже похожий смысл пригодится при умножении десятичных дробей и действиях с рациональными числами. Умение сокращать и проверять порядок вычислений помогает не допускать ошибок. Поэтому правило умножения обыкновенных дробей важно не только для этого параграфа.

Что запомнить

• Чтобы умножить дроби, перемножь числители и отдельно знаменатели.
• Натуральное число можно представить дробью со знаменателем 1.
• Перед умножением можно сократить общие множители числителей и знаменателей.
• Смешанные числа перед умножением переводят в неправильные дроби.
• Нахождение дроби от числа можно записать как умножение числа на дробь.
• В конце проверь, сокращается ли результат и нужно ли выделить целую часть.