4. Деление дробей

Определения и обозначения

Деление дробей — действие, при котором по делимому и ненулевому делителю находят частное. Делимое — число, которое делят, а делитель — число, на которое делят. Это определение нужно, чтобы правильно понимать запись a/b : c/d и не путать числа местами.

Обратные дроби — дроби, произведение которых равно 1. Для дроби a/b, где a и b не равны нулю, обратная дробь — b/a: числитель и знаменатель меняются местами. Такие дроби нужны, чтобы заменять деление умножением.

Частное дробей — результат деления одной дроби на другую ненулевую дробь. Например, в записи 3/5 : 2/7 всё выражение является частным, а 3/5 и 2/7 — его части. По частному можно узнать, сколько делителя содержится в делимом.

Деление на дробь — действие, которое заменяют умножением на дробь, обратную делителю. Поэтому в выражении 4/9 : 5/6 дробь 5/6 переворачивают и получают 4/9 · 6/5. Это правило позволяет выполнять деление с помощью уже знакомого умножения дробей.

Как это устроено

Смысл деления дробей тот же, что и деления натуральных чисел: нужно найти число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Если x : b = a, то x · b = a. Значит, частное должно превратить делитель в делимое при умножении.

Чтобы разделить дробь на ненулевую дробь, умножают делимое на дробь, обратную делителю. Пусть нужно найти a/b : c/d = x, тогда x · c/d = a/b. Умножение на d/c возвращает исходное число, потому что c/d · d/c = 1, поэтому x = a/b · d/c.

При делении дроби на натуральное число его можно записать в знаменателе дроби. Число n имеет вид n/1, а обратная ему дробь — 1/n. Поэтому a/b : n = a/b · 1/n, что совпадает с правилом умножения дроби на натуральное число в знаменателе.

При делении натурального числа на дробь натуральное число удобно представить дробью со знаменателем 1. Например, 3 : 2/5 превращается в 3/1 · 5/2. Такая запись позволяет применить одно общее правило и не придумывать отдельный способ для натурального делимого.

Делитель не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Не существует числа, которое при умножении на 0 даст ненулевое делимое, а для делимого 0 результат не был бы единственным. Поэтому обратную дробь для нуля составить невозможно.

Как делить дроби

Сначала определи, какое число является делителем: именно его дробь нужно перевернуть. Затем замени деление умножением, выполни сокращение и перемножь дроби. В конце проверь, не получилось ли смешанное число и можно ли сократить ответ.

Разбор задач

В каждой задаче сначала определяй делимое и делитель. После этого выбирай обратную дробь только для делителя и выполняй вычисления по шагам. Если встречается смешанное число, сначала переводи его в неправильную дробь.

Дробь разделить на натуральное число

Вычислим 3/5 : 2. Делитель здесь равен 2, поэтому его можно представить дробью 2/1. Обратная дробь к 2/1 — это 1/2.

1. Заменяем деление умножением: 3/5 : 2 = 3/5 · 1/2.
2. Перемножаем числители и знаменатели: 3/5 · 1/2 = 3/10.
3. Проверяем сокращение: у 3 и 10 нет общего делителя, значит результат уже окончательный.

Ответ: 3/10.

Деление одной дроби на другую

Вычислим 5/6 : 10/9. Делитель равен 10/9, значит обратной дробью будет 9/10. Перед умножением удобно сократить множители, чтобы вычисления стали проще.

1. Заменяем деление: 5/6 : 10/9 = 5/6 · 9/10.
2. Сокращаем 5 и 10 на 5, а 9 и 6 на 3: получаем 1/2 · 3/2.
3. Перемножаем: 1/2 · 3/2 = 3/4.

Ответ: 3/4. Проверка показывает, что 3/4 · 10/9 = 5/6, значит найденное частное верно.

Задача на количество порций

Нужно узнать, сколько порций по 3/8 кг получится из 2 1/4 кг крупы. Общее количество крупы — делимое, масса одной порции — делитель. Сначала смешанное число переводим в неправильную дробь.

1. 2 1/4 = (2 · 4 + 1)/4 = 9/4.
2. Составляем выражение: 9/4 : 3/8.
3. Переворачиваем делитель и умножаем: 9/4 · 8/3.
4. Сокращаем 8 и 4, затем 9 и 3: получаем 3 · 2 = 6.

Ответ: из крупы можно получить 6 порций. Проверка: 6 · 3/8 = 18/8 = 2 1/4 кг.

Типичные ошибки

Переворачивают делимое вместо делителя. Так происходит, когда ученик запоминает только слово «перевернуть», но не уточняет, какую дробь нужно менять. Проверь себя: обратной должна стать именно дробь после знака деления.

Умножают числители и знаменатели друг на друга, не заменив деление умножением на обратную дробь. Ошибка появляется из-за смешения двух правил действий с дробями. Перед вычислением запиши отдельный шаг со знаком умножения и перевёрнутым делителем.

Составляют обратную дробь для нуля или забывают проверить делитель. Ноль нельзя перевернуть в обычную дробь, потому что у него нет ненулевого числителя и знаменателя в такой записи. Сначала посмотри, не равен ли делитель нулю.

Не переводят смешанное число в неправильную дробь перед вычислением. Целая и дробная части тогда начинают обрабатываться как отдельные множители, хотя смешанное число обозначает одну величину. Перед делением преврати его в неправильную дробь и только потом применяй правило.

Связь с другими темами

До деления дробей нужно уметь умножать и сокращать дроби, находить обратную дробь и переводить смешанное число в неправильную. Эти навыки превращают новое действие в последовательность знакомых шагов. Поэтому полезно повторить их перед самостоятельной работой.

Деление дробей пригодится в задачах на доли, измерение величин и количество порций заданного размера. Например, делением можно узнать, сколько отрезков определённой длины помещается в общей длине. В дальнейшем это умение понадобится при работе с отношениями и пропорциями.

Что запомнить

• Делить на ноль нельзя.
• Чтобы разделить на дробь, умножь на дробь, обратную делителю.
• Обратная дробь получается перестановкой числителя и знаменателя.
• У нуля нет обратной дроби.
• Смешанное число перед вычислением удобно перевести в неправильную дробь.
• В конце вычислений проверь, можно ли сократить ответ.