1.3. Сложение и вычитание дробей

Определения и обозначения

Дробь состоит из числителя и знаменателя: числитель показывает, сколько долей взяли, а знаменатель — на сколько равных долей разделили целое. Например, в дроби 3/8 взяли три доли из восьми равных. Это помогает представить, какую часть целого описывает дробь.

Равные дроби — это дроби, которые выглядят по-разному, но обозначают одно и то же число. Например, 1/2 и 2/4 равны: половина и две четверти занимают одинаковую часть целого. Такие дроби нужны, чтобы заменить неудобную дробь другой, подходящей для вычислений.

Общий знаменатель — число, к которому можно привести знаменатели дробей перед сложением или вычитанием. Оно должно делиться на каждый из исходных знаменателей. Общий знаменатель позволяет выразить доли одинакового размера и сравнить их количество.

Наименьший общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Например, для 4 и 6 это 12. С ним обычно проще считать, потому что дроби приходится умножать на меньшие числа.

Как это устроено

Представь две части одинаково разделённого пирога: например, 2/7 и 3/7. Каждая доля в обеих дробях имеет один и тот же размер, поэтому вместе получается пять таких долей — 5/7. Если вычесть одну долю из трёх седьмых, останутся две седьмых. Именно поэтому при одинаковых знаменателях достаточно сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить прежним: размер долей не меняется.

Доли с разными знаменателями имеют разный размер: например, четверть и шестая часть — не одинаковые кусочки. Чтобы их складывать или вычитать, удобно сначала разделить целое на такие доли, которые подходят обеим дробям. Для этого дроби приводят к общему знаменателю. Тогда можно считать количество долей одного размера, а не пытаться складывать части разной величины.

При приведении дроби к другому знаменателю нужно сохранить её величину. Если умножить знаменатель на некоторое число, то каждая доля станет во столько же раз меньше; чтобы количество долей компенсировало это изменение, числитель тоже умножают на такое же число. Например, 1/3 = 2/6, потому что и числитель, и знаменатель умножили на 2. Делить числитель и знаменатель можно также на одно и то же ненулевое число.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель, сначала находят наименьшее общее кратное исходных знаменателей. Затем это число делят на каждый из знаменателей и получают дополнительные множители. На эти множители умножают и числители, и знаменатели дробей. Так доли становятся одинаковыми, а сами дроби сохраняют прежнюю величину.

После приведения дробей выполняют действие с числителями и сохраняют общий знаменатель. Полученную дробь проверяют: если числитель и знаменатель можно разделить на одно и то же число, дробь сокращают. Если числитель больше знаменателя, дробь неправильная; из неё можно выделить целую часть. В смешанном числе целая часть показывает целые единицы, а дробная — оставшуюся часть.

Сложение и вычитание дробей

Сначала найди в таблице подходящий случай, а затем проверь, все ли действия выполнены. Если знаменатели разные, не переходи к сложению числителей, пока не приведёшь дроби к общему знаменателю. В конце проверь сокращение и, если нужно, выдели целую часть.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2/9 + 4/9. Знаменатели совпадают, значит, девятые доли уже одинакового размера. Нужно узнать, сколько таких долей будет вместе: складываем числители, а девятки оставляем. Затем проверяем, можно ли сократить ответ.

1. Записываем действие: 2/9 + 4/9.
2. Складываем числители: 2 + 4 = 6; знаменатель 9 не меняем.
3. Получаем 6/9. Делим числитель и знаменатель на 3: 6/9 = 2/3.

Ответ: 2/3. Сокращение показывает ту же часть целого в более простой записи. Дробь 6/9 тоже верна, но 2/3 записана удобнее.

Задача 2. Вычислите 3/4 − 1/6. Четверти и шестые части имеют разный размер, поэтому сначала найдём общий знаменатель. Наименьшее число, которое делится и на 4, и на 6, — 12. После преобразования дробей можно вычитать количество одинаковых долей.

1. Находим наименьший общий знаменатель: НОК(4, 6) = 12.
2. Приводим дроби: 3/4 = 9/12, так как 4 умножили на 3; 1/6 = 2/12, так как 6 умножили на 2.
3. Вычитаем числители: 9/12 − 2/12 = 7/12.
4. Проверяем ответ: 7 и 12 не имеют общего делителя больше 1, поэтому дробь не сокращается.

Ответ: 7/12. Мы вычли две двенадцатые из девяти двенадцатых. Полученная дробь правильная и уже несократимая.

Задача 3. Вычислите 2 1/3 − 5/6 и запишите результат в виде смешанного числа, если это возможно. Чтобы вычесть шестые части, представим дробную часть смешанного числа в шестых долях. Дроби 1/3 и 5/6 превратятся в 2/6 и 5/6, но двух шестых недостаточно, чтобы вычесть пять шестых. Поэтому нужно занять одну целую единицу.

1. Приводим дробную часть к знаменателю 6: 1/3 = 2/6. Получаем 2 2/6 − 5/6.
2. Занимаем 1 у целой части: 2 2/6 = 1 + 6/6 + 2/6 = 1 8/6.
3. Вычитаем дробные части: 1 8/6 − 5/6 = 1 3/6.
4. Сокращаем 3/6 на 3: 1 3/6 = 1 1/2.

Ответ: 1 1/2. Занятая единица равна шести шестым, поэтому после займа дробная часть стала равна восьми шестым. В конце мы сократили оставшиеся три шестых.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать или вычитать и числители, и знаменатели, например получать 2/9 + 4/9 = 6/18. Так иногда делают, потому что воспринимают дробь как два отдельных числа, но знаменатель здесь сообщает размер долей. При одинаковых знаменателях меняется только число долей; проверь себя, спросив, остались ли доли того же размера.

Ошибка: при приведении дроби умножать только знаменатель. Тогда дробь меняет величину, ведь доли стали меньше, а их количество осталось прежним. Чтобы получить равную дробь, умножай числитель и знаменатель на одно и то же число; можно проверить равенство делением или сокращением.

Ошибка: неверно находить дополнительный множитель. Его получают, когда общий знаменатель делят на исходный знаменатель: например, для 4 и 12 дополнительный множитель равен 3. Если перепутать порядок деления, дробь не удастся привести к выбранному знаменателю. Проверь, что исходный знаменатель, умноженный на множитель, даёт общий знаменатель.

Ошибка: оставить ответ несокращённым или не преобразовать неправильную дробь. Это часто случается, когда после самого действия вычисление считают законченным. Проверь, есть ли у числителя и знаменателя общий делитель, а затем сравни числитель со знаменателем. Если числитель больше, при необходимости выдели целую часть.

Связь с другими темами

Перед сложением и вычитанием дробей полезно уметь находить кратные и наименьшее общее кратное натуральных чисел: это помогает выбрать общий знаменатель. Знание равных дробей и сокращения нужно, чтобы правильно приводить дроби к этому знаменателю и упрощать ответ. Эти действия пригодятся и при вычислениях со смешанными числами. С их помощью также решают задачи, где нужно найти, сколько частей величины взяли, добавили или осталось.

Что запомнить

• При одинаковых знаменателях складывают или вычитают числители.
• Знаменатель при сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями не меняется.
• Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю.
• Для получения равной дроби числитель и знаменатель умножают на одно и то же число.
• После вычисления результат по возможности сокращают.
• Неправильную дробь при необходимости записывают смешанным числом.