1.4. Умножение и деление дробей

Определения и обозначения

Произведение дробей — результат умножения дробей. Чтобы найти его, умножают числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй: a/b · c/d = (a·c)/(b·d). Это правило позволяет выполнить действие с дробными частями, не превращая дроби в десятичные.

Взаимно обратные числа — числа, произведение которых равно 1. Чтобы найти дробь, обратную дроби a/b, меняют местами её числитель и знаменатель: получают b/a, если a и b не равны нулю. Такие числа нужны, чтобы заменить деление умножением.

Деление дробей — действие, которое можно заменить умножением делимого на число, обратное делителю. Например, a/b : c/d = a/b · d/c, если делитель не равен нулю. Такое преобразование помогает свести деление дробей к уже знакомому умножению.

Как это устроено

Дробь показывает, сколько равных долей взято от целого. При умножении дроби на дробь мы берём указанную часть от уже взятой части, поэтому знаменатели показывают, на сколько долей разделено целое, а числители — сколько таких долей выбрано. Например, половина от трёх пятых — это три доли размера 1/10, то есть 3/10. Отсюда правило: числители перемножают между собой и знаменатели тоже.

Вычисления можно упростить, если до умножения найти общий множитель в числителе и знаменателе. Например, множитель 3 в числителе одной дроби и знаменателе другой можно сократить: произведение при этом не меняется, потому что деление обоих множителей на одно и то же число сохраняет их отношение. После сокращения числа становятся меньше, и вероятность ошибиться в вычислениях снижается. Сокращать разрешено только множители.

Деление отвечает на вопрос, сколько раз одно число содержится в другом. Умножение на обратную дробь даёт тот же результат: например, разделить на 1/2 — значит узнать, сколько половин помещается в числе, то есть умножить его на 2. Поэтому при делении переворачивают делитель, а делимое оставляют прежним. Делитель не может быть нулём: деление на ноль не определено.

Смешанное число состоит из целой части и дробной, поэтому перед умножением или делением его удобно записать одной неправильной дробью. Для этого целую часть умножают на знаменатель дробной части, прибавляют числитель и записывают сумму над прежним знаменателем. Например, 2 1/3 = 7/3. После преобразования применяют обычные правила действий с дробями.

Знаки учитывают так же, как при умножении и делении целых чисел. Два числа с одинаковыми знаками дают положительный результат, а числа с разными знаками — отрицательный. Сначала можно выполнить действие с модулями, то есть с величинами чисел без знаков, а затем поставить знак результата. Если в примере несколько действий умножения и деления, их выполняют по порядку слева направо.

Умножение и деление дробей

Таблица помогает быстро выбрать правило и проверить вычисление. Перед ответом проверь, что дроби сокращены, смешанные числа преобразованы, а делитель не равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите произведение 2/3 · 3/5. Здесь можно заметить общий множитель 3: он есть в числителе второй дроби и знаменателе первой. Сократим его до умножения, чтобы не получать лишние большие числа.

1. Сократим 3 и 3: получим 2/1 · 1/5.
2. Перемножим числители и знаменатели: (2·1)/(1·5) = 2/5.

Ответ: 2/5. Для проверки можно выполнить умножение без предварительного сокращения: 6/15, а затем сократить на 3. Получается та же дробь 2/5.

Задача 2. Вычислите 7/12 : 14/15. Деление заменим умножением, оставив первую дробь без изменений и взяв обратную для второй. После этого сократим общие множители, чтобы упростить вычисления.

1. Заменим деление: 7/12 · 15/14.
2. Сократим 7 и 14 на 7, а 15 и 12 на 3: получим 1/4 · 5/2.
3. Перемножим: (1·5)/(4·2) = 5/8.

Ответ: 5/8. Обрати внимание: дробь перевернули именно потому, что она была делителем. Сокращение выполнено между множителями, а не внутри суммы.

Задача 3. Вычислите 1 1/2 : (−2/3) · 4/5. Сначала заменим смешанное число неправильной дробью, затем выполним умножение и деление слева направо. Отрицательный знак учитываем при делении, а после преобразования сокращаем общие множители.

1. Переведём смешанное число: 1 1/2 = 3/2.
2. Выполним деление: 3/2 : (−2/3) = 3/2 · (−3/2) = −9/4.
3. Умножим на 4/5: −9/4 · 4/5 = −9/5.

Ответ: −9/5. Знак отрицательный, потому что при первом действии делимое положительное, а делитель отрицательный. Скобки помогают не потерять знак дроби при вычислении.

Типичные ошибки

При умножении иногда складывают числители или знаменатели, перенося правило сложения дробей на другое действие. Это происходит, когда правила не различают и смотрят только на запись дробей. Проверь себя: в произведении должны стоять знаки умножения между числителями и между знаменателями, а не сложение.

При делении можно по ошибке перевернуть делимое, а не делитель. Так случается, если запомнить слово «перевернуть», но не запомнить, к какой дроби оно относится. Перед вычислением запиши замену отдельно: делимое · дробь, обратная делителю; затем проверь, что первая дробь осталась прежней.

Иногда забывают сократить итоговую дробь или сокращают слагаемые. Обычно это происходит из-за смешения сокращения дробей с вычитанием или делением отдельных частей суммы. Проверяй, что сокращаемые числа являются множителями числителя и знаменателя; например, в дроби (2·3)/(3·5) можно сократить 3, а в (2+3)/5 — нельзя.

Ещё одна ошибка — начинать действие со смешанными числами, не переводя их в неправильные дроби. Тогда целая часть может быть ошибочно умножена или поделена отдельно от дробной. Сначала выпиши преобразование, например, 2 1/4 = 9/4, и только потом применяй правило для дробей.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно умножать и делить дроби, нужно уметь находить равные дроби и сокращать их. Также понадобятся умножение и деление натуральных чисел и правила действий с отрицательными числами. Эти навыки помогают упрощать вычисления и правильно определять знак ответа.

Правила пригодятся при действиях с рациональными числами — числами, которые можно записать в виде дроби. Они используются и при решении уравнений, и в задачах на части величины: например, когда нужно найти несколько долей от количества или выяснить, сколько раз одна часть содержится в другой.

Что запомнить

• При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
• Общие множители можно сокращать до перемножения.
• Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю.
• На ноль делить нельзя.
• Смешанные числа перед умножением и делением переводят в неправильные дроби.
• При умножении и делении учитывают знаки чисел.