"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Умножение и деление дробей помогают находить части величин и выполнять действия с рациональными числами. При умножении отдельно перемножают числители и знаменатели, а перед этим часто сокращают дроби. Деление заменяют умножением на дробь, обратную делителю: это позволяет пользоваться уже знакомым правилом умножения. Нужно помнить, что на ноль делить нельзя, а смешанные числа перед вычислением переводят в неправильные дроби.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение дробей — результат умножения одной дроби на другую. Чтобы его найти, перемножают числители между собой и знаменатели между собой: a/b · c/d = ac/bd. Это правило позволяет умножать части величин, не приводя дроби к общему знаменателю.
Взаимно обратные числа — числа, произведение которых равно 1. Например, 3/5 и 5/3 взаимно обратны, потому что 3/5 · 5/3 = 1. Такое свойство нужно, чтобы заменить деление дробей удобным умножением.
Деление дробей — действие, при котором делимое умножают на число, обратное делителю. Например, a/b : c/d = a/b · d/c, если делитель не равен нулю. Это правило помогает выполнить деление по знакомому правилу умножения.
Обратная дробь получается, если в данной дроби поменять местами числитель и знаменатель: обратная к 4/7 — 7/4. Для дроби, отличной от нуля, умножение на обратную даёт 1. У нуля числитель равен 0, поэтому переставленная дробь не определена и обратной дроби для нуля нет.
При умножении дробей отдельно перемножают числители и знаменатели. Это можно понять на примере частей целого: треть от половины целого составляет одну шестую, то есть ½ · ⅓ = 1/6. Поэтому при записи общего правила перемножают верхние числа между собой, а нижние — между собой, не приводя дроби к общему знаменателю.
До умножения полезно проверить, можно ли сократить числитель одной дроби со знаменателем другой. Например, в произведении 2/3 · 3/5 числа 3 и 3 можно разделить на 3, и получится 2/5. Значение не меняется, потому что мы фактически делим один множитель на число и другой — на то же число, а вычислять с меньшими числами проще.
Деление заменяют умножением на дробь, обратную делителю. Причина связана с проверкой деления: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Обратная дробь как раз убирает делитель при умножении, потому что произведение числа на обратное ему равно 1.
При делении обращают только делитель, а делимое оставляют без изменения: например, 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4. Если обратить делимое или обе дроби, получится другое действие и неверный результат. Делитель не может быть нулём: дроби 0/1 не существует, а значит, нельзя умножить на дробь, обратную нулю.
Натуральное число можно записать дробью со знаменателем 1: например, 4 = 4/1. Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. После этого применяют те же правила умножения или деления, что и для обыкновенных дробей.
Сравни действие, правило, возможное упрощение и ограничения перед вычислением. Особенно проверь строку о делении на ноль: обратную дробь для нуля составить нельзя.
| Действие | Правило | Что можно упростить заранее | Ограничения |
|---|---|---|---|
| Умножение дробей | Числитель умножить на числитель, знаменатель — на знаменатель | Сократить числитель одной дроби со знаменателем другой | Знаменатели дробей не равны нулю |
| Деление дробей | Делимое умножить на дробь, обратную делителю | Сократить множители после замены деления умножением | Делитель не равен нулю |
| Умножение дроби на натуральное число | Число записать дробью со знаменателем 1 и перемножить | Сократить натуральное число со знаменателем дроби | Знаменатель дроби не равен нулю |
| Деление дроби на натуральное число | Умножить дробь на дробь, обратную натуральному числу | Сократить числитель с натуральным числом, если возможно | Делитель не равен нулю |
| Деление на ноль | Не определено | Упростить нельзя | Делить на ноль запрещено |
Задача 1. Вычислить 2/3 · 3/5. Сначала посмотрим, можно ли упростить произведение: числитель первой дроби и знаменатель второй имеют общий множитель 5? Нет, зато числитель второй и знаменатель первой содержат общий множитель 3. Сократим его до умножения, чтобы не получать лишние большие числа.
Ответ: 2/5. Можно было сначала получить 6/15, а затем сократить эту дробь на 3. Предварительное сокращение даёт тот же результат и сокращает вычисления.
Задача 2. Вычислить 5/6 : 10/9. Деление дробей заменим умножением, но прежде убедимся, что делитель 10/9 не равен нулю. Обратной к нему будет 9/10, поэтому делимое 5/6 оставляем на месте.
Ответ: 3/4. Проверка: 3/4 · 10/9 = 30/36 = 5/6. Получили исходное делимое, значит, частное найдено верно.
Задача 3. Вычислить 1 1/2 : 3/4 и проверить результат умножением. Перед делением превратим смешанное число в неправильную дробь: так оба числа будут записаны одинаково и можно будет применить общее правило. Затем обратим только делитель.
Ответ: 2. Проверка обратным действием подтвердила результат. Если бы мы обратили делимое вместо делителя, проверка не дала бы исходное число.
При умножении иногда складывают числители и знаменатели, например считают, что 1/2 · 1/3 = 2/5. Так делают, перенося правило сложения дробей на другое действие. Проверь себя: в произведении должны быть отдельные произведения числителей и знаменателей, а для примера получится 1/6.
При делении могут обратить делимое или обе дроби. Причина обычно в том, что правило запоминают как «что-то перевернуть», не уточняя что именно. Перед вычислением запиши делимое, знак умножения и обратную дробь делителя: только у делителя числитель и знаменатель меняются местами.
Нельзя сокращать слагаемые через знак сложения: сокращение действует только на множители. Например, в дроби (2 + 4)/2 нельзя просто зачеркнуть двойки в слагаемом и знаменателе, ведь числитель сначала является суммой. Проверь себя: разложи числитель на множители или сначала вычисли сумму, после чего сокращай общий множитель целых чисел.
Ещё две причины неверного ответа — деление на ноль и забытый перевод смешанного числа. Перед делением проверь, что делитель не равен нулю, а смешанное число запиши неправильной дробью. Затем проверь деление умножением частного на делитель: должен получиться делимый.
Для вычислений нужны знакомые сведения: числитель и знаменатель дроби, основное свойство дроби, сокращение дробей и перевод смешанного числа в неправильную дробь. Они помогают понять, почему произведение можно упрощать и как подготовить числа к действию. Умножение и деление дробей понадобятся при действиях с рациональными числами и решении уравнений. Эти правила также применяют в задачах на нахождение части числа или числа по его части.
Почему при умножении дробей перемножают отдельно числители и знаменатели?
Дробь показывает деление числителя на знаменатель. При умножении дробей эти части перемножаются отдельно: числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Например, ½ · ⅓ = 1/6.
Можно ли сократить дроби до умножения?
Да, можно сократить числитель одной дроби со знаменателем другой, если у них есть общий множитель. Такое сокращение не меняет произведение, зато числа для вычисления становятся меньше.
Какую дробь нужно обратить при делении?
Обращают только делитель: меняют местами его числитель и знаменатель. Делимое оставляют без изменения, а знак деления заменяют знаком умножения.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление проверяют умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Если делитель равен нулю, произведение всегда равно нулю и не может дать ненулевое делимое, поэтому деление на ноль не определено.
Что делать со смешанным числом перед умножением или делением?
Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь. Для этого целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель и записывают результат над прежним знаменателем. Затем применяют обычное правило.
3.5. Умножение и деление дробей
