"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Равные дроби могут выглядеть по-разному, но обозначают одно и то же число. Это свойство позволяет сокращать дроби, приводить их к общему знаменателю и сравнивать значения с разными знаменателями. Главное правило преобразования: числитель и знаменатель умножают или делят на одно и то же ненулевое число. Если знаменатели стали одинаковыми, дроби легко сравнить по числителям.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равные дроби — дроби, изображающие одно и то же число; их числители и знаменатели могут быть разными. Например, 1/2 и 2/4 равны: обе дроби обозначают половину целого. Это понятие нужно, чтобы менять вид дроби, не меняя её значения.
Сокращение дроби — замена дроби равной ей дробью с меньшими числителем и знаменателем. Например, 6/9 можно заменить на 2/3, разделив оба числа на 3. Сокращение помогает записать дробь проще и иногда облегчает дальнейшие вычисления.
Общий знаменатель — число, которое является знаменателем каждой из нескольких дробей после преобразования. Например, для 1/2 и 1/3 общим знаменателем может быть 6. Он нужен, чтобы сравнивать или складывать дроби, части которых выражены в одинаковых долях целого.
Приведение дробей к общему знаменателю — замена дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Так, 1/2 и 1/3 превращаются в 3/6 и 2/6. Это преобразование позволяет сравнивать дроби по числителям, не меняя обозначаемых ими чисел.
Дробь a/b означает, что число a делят на число b, причём b не равно нулю. Если умножить и делимое, и делитель на одно и то же ненулевое число, результат деления не изменится: например, 2 : 3 и 4 : 6 дают одинаковое отношение. Поэтому 2/3 = 4/6. Это и объясняет, почему дробь можно преобразовать, умножая или деля числитель и знаменатель одновременно.
Сократить дробь — значит найти меньшую запись того же отношения. Для этого числитель и знаменатель делят на их общий делитель, то есть число, на которое оба делятся без остатка. Например, в дроби 18/24 общий делитель 6, поэтому можно разделить и 18, и 24 на 6. Если разделить только одно число или выбрать делитель лишь для одной части, отношение изменится, и новая запись уже не будет равна исходной дроби.
Общий знаменатель должен делиться без остатка на каждый из исходных знаменателей: тогда каждой дроби можно подобрать равную запись с этим знаменателем. Подходящим числом служит любое общее кратное. Для удобства часто ищут наименьшее общее кратное — наименьшее положительное число, которое делится на все знаменатели; с ним преобразованные числа обычно меньше и проще.
Чтобы получить дробь с выбранным знаменателем, выясни, во сколько раз новый знаменатель больше старого. Если, например, 8 заменяют на 24, множитель равен 3. Умножь на 3 и знаменатель, и числитель: так значение дроби сохраняется. Если поменять только знаменатель, изменится размер долей, а число таких долей останется прежним, поэтому значение станет другим.
У дробей с одинаковыми знаменателями доли имеют один и тот же размер. Тогда достаточно сравнить, сколько таких долей взято: больше числитель — больше дробь. Если знаменатели разные, размеры долей неодинаковы, и сравнение одних числителей может привести к ошибке. Приведение к общему знаменателю выражает обе дроби в долях одного размера, после чего их числители уже можно сравнить.
Таблица показывает, какое действие выполнить с числителем и знаменателем для каждой задачи. Сначала определи цель: сократить дробь, подготовить дроби к сравнению или сравнить их напрямую. В примерах проверь, что дроби после преобразования сохраняют значение.
| Действие | Что сделать с числителем и знаменателем | Зачем это нужно | Пример |
|---|---|---|---|
| Получение равной дроби | Умножить или разделить оба числа на одно и то же ненулевое число | Записать то же значение в другом виде | 2/3 = 4/6 |
| Сокращение дроби | Разделить числитель и знаменатель на общий делитель | Получить более простую равную дробь | 18/24 = 3/4 |
| Приведение к общему знаменателю | Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на подходящий множитель | Сделать знаменатели одинаковыми | 1/2 и 1/3 → 3/6 и 2/6 |
| Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями | Сравнить числители | Определить, какая дробь больше | 5/8 > 3/8 |
| Сравнение дробей с разными знаменателями | Сначала привести дроби к общему знаменателю, затем сравнить числители | Сравнивать одинаковые по размеру доли | 2/3 = 16/24, 5/8 = 15/24, значит 2/3 > 5/8 |
Задача 1. Сократите дробь 18/24. Нужно получить равную дробь с меньшими числами, поэтому ищем общий делитель числителя и знаменателя. Числа 18 и 24 делятся на 6 без остатка. Разделим на 6 обе части дроби.
Ответ: 3/4. Дробь больше нельзя сократить общим делителем, кроме 1: числа 3 и 4 не имеют другого общего делителя.
Задача 2. Приведите дроби 2/3 и 5/8 к общему знаменателю. Ищем общее кратное 3 и 8. Удобно взять 24, потому что 24 делится на оба знаменателя. Для каждой дроби определяем свой множитель и умножаем на него числитель вместе со знаменателем.
Ответ: 16/24 и 15/24. В этой задаче 24 является наименьшим общим знаменателем, но можно было выбрать и другое общее кратное.
Задача 3. Сравните дроби 7/12 и 5/8. Знаменатели разные, поэтому нельзя просто сравнить числители. Подберём общий знаменатель: 24 делится и на 12, и на 8. Преобразуем обе дроби, сохранив их значения.
Ответ: 7/12 < 5/8. Сначала мы уравняли размеры долей, а затем сравнили их количество.
Если умножить или разделить только числитель либо только знаменатель, значение дроби изменится. Так поступают, когда воспринимают числитель и знаменатель как независимые числа, хотя дробь обозначает их отношение. Проверь себя: при получении равной дроби один и тот же множитель должен стоять у обоих чисел. Например, 2/3 нельзя превратить в 2/6, изменив только знаменатель.
При приведении дробей к общему знаменателю иногда меняют знаменатель, но забывают умножить числитель на тот же множитель. Тогда получается уже не равная дробь. Ошибка возникает, если сосредоточиться только на том, чтобы знаменатели совпали. Запиши множитель для каждой дроби и проверь обе части: например, 1/3 = 2/6, а не 1/6.
Сокращение на число, которое делит только числитель или только знаменатель, недопустимо. Можно ошибочно принять любое удобное число за общий делитель, не проверив деление без остатка. Перед сокращением отдельно проверь числитель и знаменатель. Если хотя бы одно из делений не выполняется нацело, выбранное число не подходит.
Сравнение дробей с разными знаменателями только по числителям или только по знаменателям ненадёжно. Больший числитель не всегда означает большую дробь, ведь при другом знаменателе доли имеют иной размер. Такая ошибка появляется при переносе правила для одинаковых знаменателей на любые дроби. Сначала приведи дроби к общему знаменателю или используй другой верный способ сравнения, а затем проверь, что сравниваешь одинаковые доли.
Для преобразования дробей нужны знания о числителе и знаменателе, таблице умножения, делителях и кратных. Если умеешь находить общий делитель и общее кратное, легче сократить дробь и подобрать знаменатель. Приведение к общему знаменателю понадобится при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями. Сравнение помогает упорядочивать числа и выбирать между дробными значениями в задачах.
Почему дробь не меняется, если умножить числитель и знаменатель на одно и то же число?
Дробь показывает результат деления числителя на знаменатель. Если оба числа умножить на один и тот же ненулевой множитель, отношение между ними останется прежним. Например, 2/3 = 4/6, потому что и числитель, и знаменатель умножили на 2.
Как понять, на какое число можно сократить дробь?
Найди число, на которое делятся без остатка и числитель, и знаменатель. Это их общий делитель. Раздели оба числа на него, а затем проверь, что получившаяся дробь равна исходной.
Обязательно ли приводить дроби к наименьшему общему знаменателю?
Нет, подойдёт любое общее кратное знаменателей. Наименьшее общее кратное обычно удобно, потому что числа в преобразованных дробях получаются меньше. Если проще заметить другое общее кратное, можно использовать его.
Как не забыть изменить числитель при приведении дроби к общему знаменателю?
Сначала вычисли, во сколько раз увеличился знаменатель, а затем умножь числитель на этот же множитель. Удобно записывать множитель рядом с дробью и проверять, что он применён к обоим её частям.
Можно ли сравнить дроби с разными знаменателями без приведения к общему знаменателю?
Иногда можно воспользоваться рисунком, смыслом дроби или умножением крест-накрест. Но для обычного сравнения надёжный способ — привести дроби к общему знаменателю и сравнить числители. Он особенно удобен, когда знаменатели не связаны очевидным образом.
1.2. Преобразование и сравнение дробей
