37. Рациональные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — целое число, не равное нулю. Например, дробь 3/5 задаёт рациональное число. Это определение позволяет проверить, относится ли число к рациональным.

Множество рациональных чисел — множество всех чисел, которые можно представить дробью с целым числителем и ненулевым целым знаменателем; его обозначают Q. В него входят дроби, целые числа и ноль. Буква Q помогает кратко говорить обо всём этом множестве.

Положительное рациональное число — рациональное число, большее нуля; его можно записать дробью, числитель и знаменатель которой имеют одинаковые знаки. Например, 3/5 положительно, как и (−3)/(−5). По знакам в записи можно определить, по какую сторону от нуля находится число.

Отрицательное рациональное число — рациональное число, меньшее нуля; его можно записать дробью с числителем и знаменателем разных знаков. Например, (−7)/2 — отрицательное число. Это определение помогает различать числа при сравнении и вычислениях.

Как это устроено

Обыкновенная дробь показывает отношение числителя к знаменателю, то есть деление одного числа на другое. Если оба числа целые, а знаменатель не равен нулю, такая запись подходит под определение рационального числа. Поэтому дроби вроде 3/5 и (−7)/2 входят в множество Q. Именно дробная запись объединяет разные виды чисел в одно множество.

Целое число тоже можно записать дробью: например, 4 = 4/1, а −6 = −6/1. Это верно потому, что деление любого числа на единицу не меняет его значения. Значит, отсутствие дробной черты в обычной записи не мешает числу быть рациональным. Такой способ записи показывает, что целые числа входят в Q.

Знак дроби зависит от знаков числителя и знаменателя. Если они одинаковые, результат деления положительный: например, (−3)/(−4) = 3/4. Если знаки разные, результат отрицательный: (−3)/4 = −3/4. Это следует из правил знаков при делении, поэтому дроби можно записать с положительным знаменателем, изменив знаки числителя и знаменателя одновременно.

Ноль также подходит под определение рационального числа, потому что 0 = 0/1. Числитель здесь целый, а знаменатель равен единице и не равен нулю. Если бы знаменатель был нулевым, деление не имело бы смысла и дробь не задавала бы число. Поэтому условие n ≠ 0 обязательно для любой дроби, представляющей рациональное число.

Одно рациональное число можно записать разными дробями: например, 1/2 = 2/4. Эти дроби равны, потому что числитель и знаменатель первой дроби умножили на одно и то же ненулевое число — 2. Значение дроби при таком изменении не меняется. Поэтому рациональное число — это не только одна конкретная запись, но и все равные ей дроби.

Виды рациональных чисел и их представление

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определите знак числа, а затем найдите подходящий вид. В третьем столбце показано, как представить каждое из них дробью. У целого числа знак зависит от самого числа, а его дробная запись может иметь знаменатель 1.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из чисел 3/5, −7/2, 4 и 0 являются рациональными. Проверим каждую запись по определению: числитель и знаменатель должны быть целыми, а знаменатель — ненулевым. Для целых чисел понадобится найти дробное представление. Такой способ не зависит от того, записано ли число дробью изначально.

1. У числа 3/5 числитель и знаменатель целые, знаменатель 5 не равен нулю. Значит, число рациональное.
2. В дроби −7/2 оба числа целые, а знаменатель 2 ненулевой. Поэтому −7/2 также рационально.
3. Представим остальные числа как 4 = 4/1 и 0 = 0/1. У обеих дробей знаменатель равен 1, поэтому 4 и 0 тоже рациональны.

Ответ: все перечисленные числа рациональны. Проверка состоит в том, что каждое из них удаётся записать дробью с целыми числителем и ненулевым знаменателем. Целые числа и ноль не являются исключениями из определения.

Задача 2. Запишите числа −6, 0 и 5 в виде дробей со знаменателем 1. Для этого вспомним, что деление на единицу не изменяет число. Значит, каждое целое число можно поставить в числитель, а в знаменатель записать 1. Затем убедимся, что полученные дроби равны исходным числам.

1. Число −6 запишем как −6/1, потому что −6 : 1 = −6.
2. Ноль представим дробью 0/1: при делении нуля на 1 получается 0.
3. Число 5 запишем как 5/1, так как 5 : 1 = 5.

Ответ: −6 = −6/1, 0 = 0/1, 5 = 5/1. Знаменатель 1 ненулевой, а все числители целые. Поэтому записи подтверждают, что каждое из этих чисел рационально.

Задача 3. Запишите число −3/4 в виде дроби с положительным знаменателем и укажите знак полученного рационального числа. Знаменатель уже положительный, но знак минус записан перед дробью. При необходимости знак можно перенести в числитель или знаменатель, не меняя значение дроби. Здесь достаточно оставить его в числителе.

1. Запишем дробь как (−3)/4: числитель отрицательный, знаменатель положительный.
2. Знаменатель 4 больше нуля, поэтому условие о положительном знаменателе выполнено.
3. Знаки числителя и знаменателя разные, следовательно, дробь меньше нуля.

Ответ: −3/4 = (−3)/4; это отрицательное рациональное число. Если бы мы одновременно поменяли знаки числителя и знаменателя, получили бы 3/(−4), что задаёт то же число, но знаменатель оказался бы отрицательным. Поэтому для требуемой записи оставляем знаменатель положительным.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что целые числа не рациональны, потому что у них нет дробной черты. Это происходит, если помнить только привычную запись числа и не проверять определение. Для проверки запишите целое число a как a/1. Если знаменатель ненулевой, такая дробь доказывает, что число рационально.

Другая ошибка — разрешать нулевой знаменатель. Иногда забывают, что дробь означает деление, а делить на ноль нельзя. Поэтому запись вида 3/0 не задаёт рационального числа. Проверьте знаменатель каждой дроби: он должен быть целым и отличным от нуля.

Можно ошибочно решить, что рациональными бывают только обыкновенные дроби. Такое представление возникает, если не заметить, что целые числа и ноль тоже можно записать дробями. Проверка простая: преобразуйте целое число a в a/1, а ноль — в 0/1. Эти записи отвечают определению рационального числа.

При преобразовании дроби иногда меняют знак только у числителя или только у знаменателя и считают, что значение сохраняется. Но изменение одного знака меняет знак всей дроби. Чтобы значение осталось прежним, нужно изменить знаки числителя и знаменателя одновременно. Сверьте дроби на простом примере: 1/2 = (−1)/(−2), но 1/2 ≠ (−1)/2.

Связь с другими темами

Для изучения рациональных чисел нужны знания о целых числах и обыкновенных дробях. Смысл деления целых чисел помогает понять, что обозначает запись m/n. Если знаменатель равен нулю, деление выполнить нельзя, поэтому такая запись не подходит.

Понятие рационального числа понадобится при сравнении и выполнении действий с положительными и отрицательными дробями. Представление числа дробью также связано с десятичными дробями и числовой прямой. На числовой прямой можно показывать положение рационального числа относительно нуля и других чисел.

Что запомнить

• Рациональное число можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0.
• Множество рациональных чисел обозначают Q.
• Любое целое число рационально: a = a/1.
• Ноль — рациональное число: 0 = 0/1.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Одно рациональное число можно записать несколькими равными дробями.