"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Деление помогает найти число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Поэтому оно связано с умножением и позволяет решать уравнения и вычислять выражения. Чтобы разделить числа с разными знаками, сначала делят их модули, а затем определяют знак ответа: одинаковые знаки дают положительное частное, разные — отрицательное. Нуль можно разделить на любое ненулевое число, но делить на нуль нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Частное чисел — число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Например, 12 : 3 = 4, потому что 4 · 3 = 12. Это определение помогает проверить деление умножением и показывает, что деление является действием, обратным умножению.
Деление чисел с одинаковыми знаками — деление, результатом которого становится положительное число. Например, 15 : 3 = 5 и (−15) : (−3) = 5. Правило нужно, чтобы правильно определить знак частного, даже если одно или оба числа отрицательные.
Деление чисел с разными знаками — деление, результатом которого становится отрицательное число. Например, (−15) : 3 = −5. Это правило помогает не путать знак ответа со знаком только делимого: учитывать нужно и делимое, и делитель.
Деление на нуль — действие, которое не имеет смысла. Не существует числа, которое при умножении на нуль даст ненулевое делимое, а для нулевого делимого таким числом могло бы быть любое число. Поэтому делитель не может быть равен нулю.
Деление связано с умножением: чтобы найти частное, подбери число, которое при умножении на делитель даст делимое. Например, в выражении 20 : 5 нужно найти число, для которого произведение на 5 равно 20. Это число — 4, потому что 4 · 5 = 20. Такой способ особенно полезен при проверке ответа и решении уравнений.
При делении чисел с разными знаками сначала можно работать с их модулями. Модуль числа — это расстояние от нуля на числовой прямой, поэтому он не бывает отрицательным. Например, модули чисел −18 и 3 равны 18 и 3, а 18 : 3 = 6. Значит, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя; знак результата определяют отдельно.
Правило знаков для деления следует из правил умножения. Если делитель и частное имеют одинаковые знаки, их произведение положительно; если знаки разные — произведение отрицательно. Частное должно при умножении на делитель дать делимое, поэтому знаки частного и делимого должны согласоваться с этим правилом. В итоге одинаковые знаки делимого и делителя дают плюс, а разные — минус.
Делить на нуль нельзя: умножение любого числа на нуль даёт нуль, поэтому ненулевое делимое так получить невозможно. Если делимое тоже нуль, произведение нуля на любое число равно нулю, и единственного частного найти нельзя. А вот нуль, делённый на ненулевое число, равен нулю: 0 · делитель = 0. Например, 0 : (−4) = 0.
Для деления чисел с разными знаками действуй в два этапа. Сначала раздели модули делимого и делителя, как если бы они были положительными. Затем сравни знаки исходных чисел: поставь перед результатом минус, если знаки разные, и плюс, если одинаковые. Например, при делении −21 на 7 получаем 21 : 7 = 3, а затем ставим минус: −3.
| Знак делимого | Знак делителя | Знак частного | Модуль частного |
|---|---|---|---|
| + | + | + | Модуль делимого разделить на модуль делителя |
| − | − | + | Модуль делимого разделить на модуль делителя |
| + | − | − | Модуль делимого разделить на модуль делителя |
| − | + | − | Модуль делимого разделить на модуль делителя |
Найди в таблице строку с нужными знаками делимого и делителя, чтобы определить знак частного. Для его модуля раздели модуль делимого на модуль делителя. Таблица применяется, если делитель не равен нулю.
Здесь делимое положительное, а делитель отрицательный, поэтому частное будет отрицательным. Сначала найдём модуль ответа: разделим 18 на 3. После этого поставим знак, соответствующий исходным числам.
Ответ: 18 : (−3) = −6. Проверка: −6 · (−3) = 18, значит, частное подходит.
Неизвестное делимое можно восстановить с помощью обратного действия. Если при делении x на −4 получилось 6, значит, частное 6 умножили на делитель −4. Так найдём x и одновременно проверим, каким должен быть его знак.
Ответ: x = −24. Отрицательный результат согласуется с тем, что положительное частное получилось при отрицательном делителе.
В выражении сначала выполняют деление, а затем складывают полученные результаты. Удобно посчитать каждое частное отдельно: определить его знак и разделить модули чисел. Важно сохранить знаки частных при сложении.
Ответ: −17. При сложении двух отрицательных чисел складывают их модули и ставят перед суммой знак минус.
Ошибка: определять знак частного только по делимому. Знак зависит от обоих чисел, поэтому, например, положительное делимое при отрицательном делителе даёт отрицательное частное. Так ошибаются, когда смотрят лишь на первое число. Проверь себя по паре знаков: одинаковые — плюс, разные — минус.
Ошибка: считать, что частное двух отрицательных чисел отрицательно. При одинаковых знаках частное положительное, потому что произведение двух чисел с одинаковыми знаками положительно. Ошибка возникает из-за того, что минус в записи кажется знаком ответа. Для проверки умножь предполагаемое частное на делитель и посмотри, получится ли делимое.
Ошибка: разделить модули и забыть определить знак результата. Деление модулей даёт только величину частного, но не отвечает на вопрос, положительным оно будет или отрицательным. Такое случается, если сосредоточиться на вычислении и не сверить знаки. После нахождения модулей обязательно вернись к знакам делимого и делителя.
Ошибка: пытаться разделить число на нуль. Деление ищет число, которое при умножении на делитель даёт делимое, а произведение на нуль всегда равно нулю. Можно забыть проверить делитель, если сразу начать вычисления. Перед решением убедись, что делитель не равен нулю; если он равен нулю, частное не определено.
Для деления положительных и отрицательных чисел нужно знать правила умножения таких чисел и уметь находить модуль. Именно умножение помогает восстановить делимое по частному и делителю, а правила знаков объясняют знак результата. Деление пригодится при решении уравнений: обратное действие помогает находить неизвестное. Оно также используется при преобразовании выражений с рациональными числами.
Почему при делении двух отрицательных чисел получается положительное число?
Частное — это число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Чтобы при умножении на отрицательное число получить отрицательное делимое, частное тоже должно быть отрицательным? Проверим: произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому для отрицательного делимого нужен положительный множитель. Следовательно, частное двух отрицательных чисел положительно.
Как быстро определить знак частного?
Посмотри на знаки делимого и делителя. Если они одинаковые, частное положительно; если разные — отрицательно. Затем раздели модули чисел.
Можно ли делить нуль на число?
Да, если делитель не равен нулю. Нуль, разделённый на ненулевое число, равен нулю, потому что 0 · любое число равно 0.
Почему нельзя делить на нуль?
При делении нужно найти число, которое при умножении на делитель даст делимое. Умножение любого числа на нуль даёт нуль, поэтому ненулевое делимое получить невозможно. А для нуля ответ не единственный: любое число при умножении на нуль даёт нуль.
Как проверить результат деления?
Умножь частное на делитель: должно получиться делимое. Например, если 18 : (−3) = −6, то −6 · (−3) = 18.
36. Деление
