35. Умножение

Определения и обозначения

Умножение целых чисел — действие, которое позволяет находить произведение чисел с любыми знаками, в том числе разных. Оно расширяет знакомый способ умножения натуральных чисел: теперь множителями могут быть отрицательные числа. Это нужно, например, чтобы вычислять выражения с изменением температуры или движением в противоположных направлениях.

Множители — числа, которые перемножают, а результат называется произведением. Например, в записи (−5) · 3 числа −5 и 3 — множители. Их знаки помогают определить знак результата, поэтому до вычислений полезно посмотреть на оба множителя.

Модуль произведения — произведение модулей множителей; модуль показывает расстояние числа от нуля и не учитывает его знак. Например, |−5| = 5, поэтому модуль произведения (−5) · 3 равен 5 · 3 = 15. Это понятие помогает разделить вычисление на два шага: найти знак произведения и отдельно его величину.

Как это устроено

Правило знаков не взято случайно: оно должно согласовываться с распределительным свойством, по которому число умножают на каждое слагаемое отдельно. Например, сумма −3 + 3 равна нулю, поэтому (−3 + 3) · (−4) тоже равна нулю. Раскроем умножение суммы: (−3) · (−4) + 3 · (−4) = 0. Так как 3 · (−4) = −12, первое произведение должно быть 12, чтобы сумма стала нулём.

Чтобы перемножить два ненулевых целых числа, сначала рассмотри их знаки. При одинаковых знаках результат положительный, при разных — отрицательный. После этого найди модуль каждого множителя и перемножь их, как натуральные числа. Например, для (−6) · 4 знаки разные, а произведение модулей равно 6 · 4.

Если один множитель равен нулю, произведение равно нулю независимо от второго множителя. Это следует из смысла умножения: ноль раз взять какое-либо число — значит не взять ничего. То же видно из распределительного свойства: для любого числа a верно a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, а значит, a · 0 может быть только нулём. Поэтому знак второго множителя здесь не нужно определять.

Для целых чисел сохраняются переместительное свойство a · b = b · a, сочетательное свойство (a · b) · c = a · (b · c) и распределительное свойство a · (b + c) = a · b + a · c. Переместительное свойство позволяет поменять множители местами, а сочетательное — объединить их в удобные группы. Распределительное помогает раскрывать скобки или, наоборот, выносить общий множитель. Благодаря этим правилам выражения можно упрощать, не меняя их значения.

При умножении нескольких ненулевых множителей знак зависит от числа отрицательных множителей. Два минуса при перемножении дают плюс, поэтому отрицательные множители можно объединять парами. Если таких множителей чётное количество, все пары дают положительный знак; если нечётное — один минус останется. Сначала можно определить общий знак, затем перемножить модули всех чисел.

Правила умножения целых чисел

Найди в таблице строку, которая подходит к знакам множителей, и прочитай знак результата. Затем вычисли модуль произведения, перемножив модули чисел. Если среди множителей есть ноль, сразу запиши ноль, не выполняя остальные вычисления.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите (−6) · 4. Множители имеют разные знаки, значит, произведение будет отрицательным. Теперь достаточно найти его модуль, перемножив 6 и 4. Такой порядок помогает не смешивать правило знаков с обычным вычислением.

1. Определяем знаки: −6 отрицательное число, а 4 положительное. Знаки разные, поэтому ставим знак минус.
2. Находим модули: |−6| = 6 и |4| = 4. Перемножаем: 6 · 4 = 24.
3. Записываем найденный модуль с минусом: (−6) · 4 = −24. Ответ: −24.

Задача 2. Вычислите (−7) · (−8) и проверьте, почему результат положительный. Здесь оба множителя отрицательные, следовательно, их произведение положительно. Чтобы вычислить его модуль, умножим 7 на 8. Объяснение знака можно проверить распределительным свойством: оно требует, чтобы умножение отрицательных чисел давало число с противоположным знаком по отношению к произведению положительного и отрицательного числа.

1. Сравниваем знаки: оба множителя отрицательные, значит, результат будет положительным.
2. Перемножаем модули: |−7| · |−8| = 7 · 8 = 56.
3. Записываем положительный результат: (−7) · (−8) = 56. Если бы результат был отрицательным, распределительное свойство не выполнялось бы; например, из (−7 + 7) · (−8) = 0 следует, что произведения 56 и −56 должны взаимно уничтожиться. Ответ: 56.

Задача 3. Вычислите (−2) · 5 · (−3) − 4 · (−6). В выражении есть два произведения, между которыми стоит вычитание, поэтому сначала вычислим каждое произведение. В первом произведении два отрицательных множителя, так что оно положительно; во втором множители разных знаков, так что оно отрицательно. После этого выполним вычитание с учётом найденных знаков.

1. Вычисляем первое произведение: (−2) · 5 = −10, а затем (−10) · (−3) = 30. Два отрицательных множителя дают положительный результат.
2. Вычисляем второе произведение: 4 · (−6) = −24, потому что знаки разные. Теперь выражение принимает вид 30 − (−24).
3. Вычитание отрицательного числа заменяем сложением противоположного: 30 − (−24) = 30 + 24 = 54. Ответ: 54.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что произведение двух отрицательных чисел отрицательное, потому что видят в записи два знака минус. Но при одинаковых знаках произведение положительно: отрицательные множители дают пары минусов, которые дают плюс. Проверь себя по примеру: (−2) · (−3) = 6, а не −6.

Другая ошибка — ставить знак произведения по знаку только первого множителя. Тогда, например, в записи 5 · (−4) можно ошибочно получить плюс, хотя множители имеют разные знаки. Проверка простая: перед вычислением назови знаки обоих чисел и сравни их.

Если сразу перемножать числа, не отделяя знак от модуля, легко перепутать правила и арифметику. Надёжнее сначала определить знак результата, а затем перемножить модули, например |−6| · |4| = 24. Для самопроверки умножь модули и убедись, что знак соответствует паре знаков множителей.

Произведение отрицательного числа на ноль иногда ошибочно записывают отрицательным, перенося в ответ знак ненулевого множителя. Однако любой нулевой множитель обнуляет всё произведение: (−9) · 0 = 0. Проверь выражение по правилу a · 0 = 0 — знак второго числа на ответ не влияет.

Связь с другими темами

Для умножения целых чисел нужны противоположные числа, модуль числа и правила умножения натуральных чисел. Противоположные числа помогают понять связь между положительным и отрицательным результатами, а модуль — вычислить величину произведения. Натуральные числа дают знакомый способ перемножить модули.

Умножение целых чисел понадобится при делении чисел с разными знаками: правила знаков в этих действиях согласованы. Те же умения пригодятся при работе с рациональными числами, то есть числами, которые можно записать в виде дроби. Поэтому важно уверенно находить знак произведения и его модуль.

Что запомнить

• При одинаковых знаках множителей произведение положительно.
• При разных знаках множителей произведение отрицательно.
• Модуль произведения равен произведению модулей множителей.
• Произведение любого числа на ноль равно нулю.
• Переместительное и сочетательное свойства помогают менять порядок и группировать множители.
• При умножении нескольких отрицательных множителей знак зависит от их количества: при чётном количестве он положительный, при нечётном — отрицательный.