§7. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

Определения и обозначения

Произведение чисел — результат умножения. Его записывают, например, так: (−3) · 5 или (−3) × 5; точка и знак × обозначают одно и то же действие. Такая запись помогает увидеть, какие числа перемножаются, а скобки показывают, что число отрицательное.

Частное чисел — результат деления. Его записывают с помощью двоеточия, например 12 : 3, или в виде дроби. Деление связано с умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое; делитель при этом не может быть нулём.

Правило знаков при умножении говорит: числа с одинаковыми знаками дают положительное произведение, а с разными — отрицательное. Например, (−2) · (−4) положительно, а (−2) · 4 отрицательно. Это правило позволяет отделить определение знака от вычисления величины произведения.

Правило знаков при делении такое же: одинаковые знаки дают положительное частное, разные — отрицательное. Например, (−12) : (−3) положительно, а (−12) : 3 отрицательно. Правило пригодится, чтобы заранее понять, каким должен быть ответ.

Как это устроено

Модуль числа показывает его расстояние от нуля, поэтому у противоположных чисел модули одинаковы: |−7| = |7| = 7. Чтобы умножить или разделить числа, сначала выполни действие с модулями, а после этого выбери знак результата. Например, для (−7) · 4 нужно вычислить 7 · 4 и определить знак отдельно. Так знак не меняет обычный способ вычислений с величинами чисел.

Знак при умножении связан с направлением на числовой прямой. Умножить число на положительное — значит взять соответствующее число раз в том же направлении, а умножение на отрицательное меняет направление на противоположное. Поэтому один отрицательный множитель меняет направление один раз и даёт отрицательный ответ. Два отрицательных множителя меняют направление дважды, и результат снова направлен в сторону положительных чисел.

Нуль означает отсутствие величины, поэтому при умножении на нуль получается нуль: сколько бы раз ни взять нулевую величину, она не изменится. Деление на нуль невозможно: при проверке умножением любое число, умноженное на нуль, даёт только нуль. Значит, нельзя получить ненулевое делимое, а при делении нуля на нуль ответ не был бы единственным.

Правило знаков для деления следует из связи деления с умножением. Чтобы найти частное, нужно подобрать число, которое при умножении на делитель даст делимое. Например, если делимое и делитель отрицательные, положительное частное при умножении на отрицательный делитель даст отрицательное делимое. Поэтому одинаковые знаки дают плюс, а разные — минус.

В выражении с несколькими множителями знак можно определить по числу отрицательных множителей: чётное количество минусов даёт плюс, нечётное — минус. После этого вычисляют модули; если есть деление, его выполняют по порядку действий. Умножение и деление одинакового приоритета выполняют слева направо. Такой раздельный подсчёт помогает не запутаться в знаках и числовых действиях.

Правила знаков при умножении и делении

Найди в таблице строку, которая подходит знакам чисел, и сначала определи знак ответа. Затем умножь или раздели модули. В последней строке помни: делитель должен быть ненулевым.

Разбор задач

Вычислить: (−7) · 4.

Множители имеют разные знаки, поэтому произведение будет отрицательным. Теперь достаточно перемножить модули чисел. Не нужно вычитать 7 из 4: знак и величина произведения определяются отдельно.

1. Определяем знак: минус на плюс даёт минус.
2. Вычисляем модули: 7 · 4 = 28.
3. Записываем найденную величину с отрицательным знаком: (−7) · 4 = −28.

Ответ: −28.

Вычислить: (−56) : (−8).

Делимое и делитель отрицательные, значит, частное положительное. Разделим модуль делимого на модуль делителя. В конце проверим результат обратным действием, чтобы убедиться и в величине, и в знаке ответа.

1. Определяем знак: минус разделить на минус даёт плюс.
2. Делим модули: 56 : 8 = 7.
3. Проверяем умножением: 7 · (−8) = −56, получено исходное делимое.

Ответ: 7.

Вычислить: (−2) · 3 · (−5) : 6.

В выражении есть два отрицательных множителя, поэтому их знаки вместе дают положительный результат. Все числа ненулевые, значит, знак не изменится при делении на 6. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем действия слева направо, а модули считаем отдельно.

1. Считаем минусы: их два, значит, общий знак положительный.
2. Выполняем действия с модулями слева направо: 2 · 3 = 6, 6 · 5 = 30, 30 : 6 = 5.
3. Записываем положительный результат: (−2) · 3 · (−5) : 6 = 5.

Ответ: 5.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что минус обязательно останется в ответе. Так бывает, если ученик помнит о знаке отрицательного числа, но забывает сравнить знаки обоих чисел. Проверь, одинаковы они или различны: два минуса дают плюс, а один минус — минус. Можно подставить ответ в обратное действие, чтобы проверить его знак.

При умножении или делении двух отрицательных чисел иногда записывают отрицательный результат. Причина — привычка переносить знак из примера, не применяя правило знаков. Сравни знаки перед вычислением: они одинаковые, значит, результат положителен. Затем проверь умножением, если выполнялось деление.

Иногда ученик верно меняет знак, но ошибается при вычислении модулей, например вычитает числа вместо умножения. Это происходит, когда знак и числовое действие смешиваются. Сначала отдельно запиши действие с модулями, например 7 · 4 = 28, и проверь его таблицей умножения. Только после этого поставь найденный знак.

Нельзя делить ни нуль на нуль, ни ненулевое число на нуль. Ошибочно думать, что для нуля можно подобрать любое частное: тогда ответ не будет единственным. А умножение любого числа на нуль всегда даёт нуль, поэтому ненулевое делимое не получится. Перед делением всегда проверь, что делитель не равен нулю.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о положительных и отрицательных числах, модуле числа, сравнении чисел и сложении чисел с разными знаками. Модуль помогает выполнять вычисления отдельно от выбора знака. Правила умножения и деления затем пригодятся при преобразовании числовых и буквенных выражений, работе с координатами и решении уравнений. Те же правила используют при действиях с дробями, степенями и рациональными числами.

Что запомнить

• Чтобы умножить или разделить числа, сначала находят действие с их модулями.
• Одинаковые знаки дают положительный результат.
• Разные знаки дают отрицательный результат.
• Произведение любого числа на нуль равно нулю.
• На нуль делить нельзя.
• Знак частного определяется по тому же правилу, что и знак произведения.
• Правильность деления можно проверить умножением.