34. Вычитание

Определения и обозначения

Разность — результат вычитания. В записи a − b число a называют уменьшаемым, а b — вычитаемым. Например, в выражении 12 − 5 разность равна 7, уменьшаемое — 12, вычитаемое — 5. Эти названия помогают понять, какую роль играет каждое число в записи.

Уменьшаемое — число, из которого вычитают. Оно стоит первым, слева от знака минус: в записи a − b уменьшаемое обозначено буквой a. Это важно, потому что при вычитании порядок чисел влияет на результат: 9 − 4 и 4 − 9 дают разные ответы.

Вычитаемое — число, которое вычитают из уменьшаемого. В записи a − b оно стоит после знака минус и обозначено буквой b. Вычитаемое может быть как положительным, так и отрицательным. Его знак понадобится учитывать при замене вычитания сложением.

Вычитание рациональных чисел — действие, которое сводится к сложению уменьшаемого с числом, противоположным вычитаемому. Противоположные числа отличаются только знаками, например, числу 4 противоположно −4. Поэтому a − b можно переписать как a + (−b). Такое правило позволяет работать с разностью по правилам сложения рациональных чисел.

Как это устроено

Вычитание заменяют сложением противоположного числа по правилу a − b = a + (−b). Число, которое прибавляют, должно компенсировать вычитаемое: если к разности прибавить b, получится исходное уменьшаемое. Например, 10 − 3 = 7, а 7 + 3 = 10. Поэтому вычитание и сложение противоположного числа дают один и тот же результат.

Если вычитают положительное число, точка на координатной прямой сдвигается влево. Каждая единица вычитаемого означает шаг на одну единицу влево от положения уменьшаемого. Например, от точки 2 при вычитании 5 нужно пройти влево пять единиц и попасть в −3. Это согласуется с заменой: 2 − 5 = 2 + (−5) = −3.

При вычитании отрицательного числа знак минус перед ним превращает действие в сложение: a − (−b) = a + b. Например, 4 − (−3) означает, что к 4 прибавляют 3, и получается 7. На прямой это движение вправо, а не влево. Так происходит потому, что число, противоположное −3, равно 3.

Чтобы вычесть числа с разными знаками, сначала заменяют вычитание сложением противоположного числа, а затем применяют правила сложения. Например, 6 − 9 превращается в 6 + (−9): складываются числа разных знаков. Из большего модуля 9 вычитают меньший 6 и ставят знак числа с большим модулем, поэтому ответ равен −3. Если вычитаемое отрицательное, после замены может получиться сумма чисел одного знака.

Проверка основана на связи разности, уменьшаемого и вычитаемого. Если из a вычли b и получили c, то должно выполняться c + b = a. Например, после вычисления 8 − 13 = −5 складываем −5 и 13 и получаем 8. Если сумма не совпала с уменьшаемым, значит, при замене знака или сложении допущена ошибка. Проверка особенно полезна в примерах с несколькими отрицательными числами.

Замена вычитания сложением противоположного числа

Найди в таблице запись, похожую на своё выражение, и замени вычитание сложением. Следи за знаком именно того числа, которое стоит после знака минус. Затем вычисли сумму по правилам сложения рациональных чисел.

Разбор задач

Вычислите 8 − 13.

Вычитаемое 13 больше уменьшаемого 8, поэтому результат будет отрицательным. Чтобы вычислить разность, заменим вычитание сложением противоположного числа. После этого останется сложить числа разных знаков.

1. Заменяем вычитание: 8 − 13 = 8 + (−13).
2. Сравниваем модули: 13 больше 8, значит, из 13 вычитаем 8 и сохраняем знак числа с большим модулем, то есть минус.
3. Получаем 8 + (−13) = −(13 − 8) = −5.

Ответ: −5. Проверка: −5 + 13 = 8, значит, разность найдена верно.

Вычислите −6 − 4.

Уменьшаемое уже отрицательное, а вычитаемое положительное. После замены вычитания противоположным числом оба слагаемых будут отрицательными. Значит, нужно сложить их модули и оставить знак минус.

1. Представляем вычитание как сложение: −6 − 4 = −6 + (−4).
2. Складываем модули: 6 + 4 = 10.
3. Оба слагаемых отрицательные, поэтому сумма равна −10.

Ответ: −10. Проверка: −10 + 4 = −6, а это исходное уменьшаемое.

Вычислите −2,5 − (−7,8) + 1,3.

В выражении вычитают отрицательное число, поэтому сначала заменим это действие сложением положительного числа. Затем выполним действия слева направо. Так удобнее не потерять знаки и получить сумму чисел, которую можно сгруппировать.

1. Заменяем вычитание: −2,5 − (−7,8) + 1,3 = −2,5 + 7,8 + 1,3.
2. Сначала складываем положительные числа: 7,8 + 1,3 = 9,1.
3. Вычитаем из 9,1 модуль отрицательного числа: 9,1 − 2,5 = 6,6; знак положительный, так как положительная часть больше.

Ответ: 6,6. Проверка первых действий: −2,5 − (−7,8) = 5,3, а 5,3 + 1,3 = 6,6.

Типичные ошибки

При вычитании отрицательного числа иногда оставляют знак минус: например, записывают a − (−b) как a − b. Ошибка появляется, если не заменить всё вычитание сложением противоположного числа. Два минуса в записи означают, что вычитаемое нужно заменить на противоположное, поэтому a − (−b) = a + b. Проверь себя: 5 − (−2) должно быть больше 5 и равно 7.

Другая ошибка — поменять знак уменьшаемого, хотя меняется только знак вычитаемого. Например, в выражении −6 − 4 нельзя превращать −6 в 6: верная замена — −6 + (−4). Такую путаницу допускают, когда ориентируются на знак минус в начале выражения, а не на число, из которого вычитают. Проверь, что первое число осталось неизменным.

Иногда считают, что результат вычитания всегда меньше уменьшаемого. Это неверно, если вычитаемое отрицательное: например, 5 − (−2) = 7. Причина ошибки — привычка связывать знак минус только с движением влево. После замены на сложение видно, что прибавляется положительное число, поэтому результат растёт.

При вычислении чисел разных знаков можно ошибиться со знаком ответа. После замены вычитания нужно определить знаки слагаемых, сравнить их модули и применить правило сложения, а не выбирать знак наугад. Например, 8 − 13 = 8 + (−13), и знак ответа отрицательный, потому что модуль 13 больше. Проверка сложением разности и вычитаемого помогает обнаружить ошибку.

Связь с другими темами

Для вычитания рациональных чисел нужны знания о противоположных числах и правилах сложения положительных и отрицательных чисел. Если эти правила пока вызывают трудности, сначала потренируйся определять противоположное число и складывать числа с одинаковыми и разными знаками. Замена вычитания сложением позволяет опереться именно на эти умения. Дальше вычитание пригодится при решении уравнений и задач на изменение величин: например, при вычислении, на сколько изменилась температура или счёт.

Что запомнить

• a − b = a + (−b).
• Чтобы вычесть число, прибавь число, ему противоположное.
• Вычитание отрицательного числа заменяется сложением положительного.
• При замене вычитания меняется знак вычитаемого.
• Результат можно проверить сложением: разность плюс вычитаемое равна уменьшаемому.