33. Сложение чисел с разными знаками

Определения и обозначения

Числа с разными знаками — это положительное и отрицательное числа. Их легко распознать: перед одним стоит знак минус, а другое больше нуля; например, 5 и −2. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Такое различие помогает понять, в какую сторону движется каждое число на координатной прямой.

Сложение чисел с разными знаками — это действие, при котором складывают одно положительное и одно отрицательное число. Например, в сумме 7 + (−4) слагаемые имеют разные знаки. Чтобы правильно найти результат, нужно учитывать не только сами числа, но и расстояние каждого из них от нуля. Это расстояние называют модулем.

Правило сложения чисел с разными знаками: из большего модуля вычитают меньший, а перед результатом ставят знак числа с большим модулем. Например, у чисел −9 и 4 больший модуль у −9, поэтому сумма будет отрицательной. Правило позволяет отдельно найти числовое значение результата и определить его знак. Так вычисление становится понятным и не зависит от того, какое слагаемое записано первым.

Сумма противоположных чисел равна нулю. Противоположные числа имеют равные модули, но разные знаки: например, 6 и −6. Их действия полностью компенсируются: от нуля можно отойти на 6 единиц в одну сторону, а затем на 6 — в другую. Поэтому результат не положительный и не отрицательный, а просто 0.

Как это устроено

Представь координатную прямую с нулём посередине. Положительное слагаемое задаёт движение вправо, а отрицательное — влево; длина каждого движения равна модулю числа. Например, при вычислении 5 + (−2) нужно пройти 5 единиц вправо и 2 влево. Два пройденных участка в противоположных направлениях частично совпадают, поэтому итоговая точка окажется на 3 единицы правее нуля.

Именно противоположные направления объясняют, почему модули вычитают, а не складывают. Если двигаться вправо на 5 единиц, а затем влево на 2, итоговое удаление от старта составляет 3 единицы, а не 7. Сложение модулей показывало бы полную длину обоих путей, но не учитывало бы, что часть одного движения возвращает назад. Поэтому числовое значение суммы равно разности модулей.

Знак суммы зависит от того, в какую сторону после взаимного сокращения осталось больше движения. Если модуль положительного слагаемого больше, перевес остаётся вправо и сумма положительная. Если больше модуль отрицательного слагаемого, перевес остаётся влево и сумма отрицательная. Так знак результата определяется не внешним видом записи и не порядком слагаемых, а сравнением расстояний до нуля.

При равных модулях движения в противоположные стороны полностью уравновешиваются. Например, для 4 + (−4) путь на 4 единицы вправо целиком компенсируется путём на 4 единицы влево. Итоговая точка совпадает с нулём, значит, сумма равна 0. У нуля нет положительного или отрицательного знака, поэтому записывать −0 или +0 не нужно.

Чтобы не запутаться, выполняй действия в определённом порядке. Сначала найди модули обоих слагаемых и сравни их, не обращая внимания на знаки. Затем вычти меньший модуль из большего, а после этого выбери знак слагаемого с большим модулем. Если модули совпали, сразу запиши 0: вычитать и выбирать знак в этом случае не требуется.

Сложение чисел с разными знаками

Сначала найди строку, которая подходит к сравнению модулей слагаемых. По ней определи, как получить числовое значение суммы и какой знак поставить. Если модули равны, используй последнюю строку: сумма сразу равна нулю.

Разбор задач

Вычислите −8 + 3. Слагаемые имеют разные знаки, поэтому нельзя просто сложить их модули. Сначала выясним, какое число сильнее влияет на результат: сравним расстояния обоих слагаемых от нуля. Затем найдём разность этих расстояний и выберем знак.

1. Найдём модули: |−8| = 8, |3| = 3.
2. Сравним их: 8 больше 3, значит, после сокращения останется движение в сторону отрицательного числа.
3. Вычтем меньший модуль из большего: 8 − 3 = 5, и поставим знак минус.

Получили −5. Проверка на координатной прямой подтверждает ответ: движение на 8 единиц влево и на 3 вправо оставляет точку на 5 единиц левее нуля. Значит, −8 + 3 = −5.

Вычислите 4,7 + (−9,2). Правило для десятичных дробей такое же, как для целых чисел: сначала сравниваем модули. Модуль отрицательного слагаемого больше, поэтому результат будет отрицательным. Остаётся вычесть меньший модуль из большего.

1. Найдём модули: |4,7| = 4,7, |−9,2| = 9,2.
2. Сравним: 9,2 больше 4,7, значит, знак суммы будет минус.
3. Вычтем: 9,2 − 4,7 = 4,5.

Перед результатом ставим знак слагаемого с большим модулем, то есть отрицательного числа −9,2. Ответ: 4,7 + (−9,2) = −4,5. Здесь запятая в десятичных дробях не меняет способ рассуждения.

Вычислите −3/4 + 5/6. У дробей разные знаменатели, поэтому сначала приведём их к общему знаменателю. Так мы сможем сравнить модули и затем вычесть дроби с одинаковыми знаменателями. После этого останется определить знак результата.

1. Общий знаменатель для 4 и 6 — 12. Перепишем слагаемые: −3/4 = −9/12, 5/6 = 10/12.
2. Сравним модули: 9/12 меньше 10/12, поэтому знак суммы будет положительным.
3. Вычтем меньший модуль из большего: 10/12 − 9/12 = 1/12.

Поскольку больший модуль был у положительного слагаемого, итог положительный. Ответ: −3/4 + 5/6 = 1/12. Приведение к общему знаменателю не меняет знаки дробей и позволяет выполнить правило без изменения.

Типичные ошибки

Складывать модули. Так поступают по аналогии с числами одного знака, но при разных знаках движения направлены навстречу друг другу и частично компенсируются. Поэтому, например, 8 + (−3) не равно 11: нужно получить разность модулей. Проверь себя, представив слагаемые как перемещения в противоположные стороны.

Ставить знак числа, которое больше при обычном сравнении. Например, −3 меньше, чем 8, но это ещё не говорит, какой знак будет у их суммы. Знак выбирают по числу с большим модулем, то есть по большему расстоянию от нуля. Запиши модули отдельно и только после их сравнения решай, какой знак нужен.

Вычитать меньший модуль из большего наоборот. Если начать с меньшего, получится отрицательное значение разности, хотя числовое значение суммы — это неотрицательная разность модулей. Знак результата уже определяется отдельно, по слагаемому с большим модулем. Чтобы проверить вычисление, убедись, что первым стоит больший модуль.

Записывать нуль со знаком при равных модулях. Ошибка возникает, когда знак одного из слагаемых механически переносят в ответ. Но равные по модулю противоположные числа полностью компенсируются, и результата со знаком не остаётся. Проверь, совпадают ли модули: если да, ответом будет просто 0.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь находить модуль числа, сравнивать числа и узнавать противоположные числа. Модуль помогает сравнивать расстояния до нуля, а противоположные числа объясняют случай, когда сумма равна нулю. Если эти понятия пока вызывают затруднение, полезно повторить их перед вычислениями. Это позволит уверенно применять правило, а не угадывать знак ответа.

Правило пригодится при вычитании рациональных чисел, действиях с отрицательными числами и вычислении значений выражений. При вычитании можно заменить действие сложением противоположного числа, а затем использовать знакомое правило. В длинном выражении сложение чисел с разными знаками помогает последовательно учитывать положительные и отрицательные слагаемые. Поэтому умение сравнивать модули понадобится в дальнейших вычислениях.

Что запомнить

• При сложении чисел с разными знаками сравнивают их модули.
• Из большего модуля вычитают меньший.
• Сумма получает знак слагаемого с большим модулем.
• Если модули равны, сумма равна нулю.
• Перед вычислением полезно записать модули слагаемых.