21.2. Сложение чисел с разными знаками

Определения и обозначения

Числа с разными знаками — это положительное и отрицательное числа, одно со знаком «+», другое со знаком «−». Например, +6 и −2 имеют разные знаки. Это определение помогает сразу выбрать правило действия.

Модуль числа — расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Его записывают так: |−5| = 5 и |+5| = 5, поэтому модуль всегда неотрицателен. Модули нужны, чтобы сравнить величины слагаемых без учёта их направлений.

Сумма чисел с разными знаками — результат сложения положительного и отрицательного числа. Например, в выражении (+9) + (−4) сумма равна +5. Понимание этого термина позволяет отличать результат действия от самих слагаемых.

Правило сложения — порядок действий для нахождения суммы чисел с разными знаками. Сначала сравнивают модули, затем находят их разность и выбирают знак результата. Такой порядок помогает не перепутать сложение слагаемых разных знаков со сложением чисел одного знака.

Как это устроено

На координатной прямой положительное число задаёт движение вправо, а отрицательное — движение влево. Если к числу прибавляют число другого знака, движения направлены навстречу друг другу, поэтому часть пути сокращается. Остаётся разность расстояний, то есть из большего модуля вычитают меньший.

Чтобы понять знак результата, сравнивают модули слагаемых, а не сами числа. Если больше модуль положительного слагаемого, движение вправо сильнее и сумма окажется положительной. Если больше модуль отрицательного слагаемого, преобладает движение влево, поэтому сумма будет отрицательной.

Знак результата совпадает со знаком числа, имеющего больший модуль, потому что именно это число задаёт преобладающее направление. Например, в сумме (+11) + (−4) модуль 11 больше модуля 4, значит, результат положительный. Сначала находят 11 − 4 = 7, затем получают +7.

В общем виде правило можно записать так: чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед результатом знак числа с большим модулем. Для чисел a и b это можно показать записью: если |a| > |b|, то знак суммы a + b совпадает со знаком a. Само вычитание выполняют именно с модулями.

Противоположные числа имеют равные модули и разные знаки: (+a) и (−a). Их движения от нуля равны по длине, но направлены в разные стороны, поэтому полностью взаимно уничтожаются. Следовательно, (+a) + (−a) = 0, например (+7) + (−7) = 0.

Сложение чисел с разными знаками

Пользуйтесь таблицей по порядку: сначала определите знаки слагаемых, затем сравните их модули. После этого выполните указанное действие и выберите знак результата.

Если модули равны, отдельный знак не выбирают, потому что результатом является ноль. Не сравнивайте сами числа вместо их модулей: −9 меньше +4, но его модуль больше.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: (+8) + (−3).

Слагаемые имеют разные знаки, поэтому нельзя сразу складывать их модули. Нужно определить, какое число сильнее влияет на результат.

1. Находим модули: |+8| = 8, |−3| = 3.
2. Сравниваем их: 8 больше 3, значит, вычитаем 3 из 8: 8 − 3 = 5.
3. Больший модуль принадлежит положительному числу, поэтому ставим знак «+».

Ответ: (+8) + (−3) = +5.

Задача 2. Вычислить: (−12) + (+5) + (−4).

В выражении три слагаемых, поэтому удобно действовать последовательно. После каждого шага получаем новое число и складываем его со следующим слагаемым.

1. Сначала сложим −12 и +5: модули 12 и 5, разность равна 7, знак отрицательный. Получаем −7.
2. Теперь складываем −7 и −4. Знаки одинаковые, поэтому складываем модули: 7 + 4 = 11 и сохраняем знак «−».
3. Итоговая сумма равна −11.

Ответ: (−12) + (+5) + (−4) = −11.

Задача 3. Найти число x, если x + (−7) = −2.

Неизвестное слагаемое можно найти вычитанием суммы из известного слагаемого: x = −2 − (−7). Вычитание отрицательного числа заменяется сложением противоположного, поэтому вычисление становится x = −2 + 7.

1. Находим неизвестное: x = −2 + 7.
2. Модули 7 и 2 различны, их разность равна 5.
3. Больший модуль принадлежит положительному числу, значит, x = +5.
4. Проверяем: (+5) + (−7) = −2.

Ответ: x = 5.

Типичные ошибки

Часто модули чисел с разными знаками складывают, перенося правило для одинаковых знаков. Это происходит потому, что ученик смотрит на слово «сложение», но забывает учесть направления на прямой. Проверьте себя: при разных знаках сначала ищите разность модулей.

Иногда ставят знак числа с меньшим модулем, не сравнив расстояния до нуля. Ошибка возникает, если ориентироваться на порядок записи или на то, какое число кажется «последним». Сначала подчеркните модуль, который больше, и только потом перенесите его знак в ответ.

Нельзя вычитать большее число из меньшего, игнорируя отрицательный знак. Нужно находить именно больший модуль минус меньший: из 12 и 5 получится 12 − 5, а не −5 − 12. Полезная проверка — разность модулей всегда неотрицательна.

При равных модулях некоторые записывают положительный или отрицательный ответ. Но противоположные числа полностью взаимно уничтожаются, поэтому получается 0. Проверьте равенство модулей и вспомните: ноль не имеет знака.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать положительные и отрицательные числа, противоположные числа, модуль и сравнение точек на координатной прямой. Эти понятия объясняют направление движения и выбор знака результата.

Правило пригодится при действиях с рациональными числами, раскрытии скобок и решении уравнений. С вычитанием оно связано напрямую: вычитание заменяют сложением противоположного числа, например 4 − (−3) = 4 + (+3).

Что запомнить

• При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитают меньший.
• Знак результата совпадает со знаком числа, имеющего больший модуль.
• Если модули равны, сумма чисел с разными знаками равна нулю.
• Перед вычислением нужно определить знаки чисел и сравнить их модули.
• Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
• Порядок слагаемых не меняет сумму.