"Математика", Ткачёва М.В.
Сложение чисел с одинаковыми знаками — это действие с положительными или только с отрицательными числами. Чтобы найти сумму, складывают модули слагаемых, а затем сохраняют их общий знак. Правило помогает быстро выполнять вычисления с целыми числами и десятичными дробями, понимать движение по координатной прямой и не путать сложение с вычитанием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Положительное число — число больше нуля; его записывают со знаком «+» или без знака. Например, +5 и 5 обозначают одно и то же число. Это нужно, чтобы отличать такие числа от отрицательных и правильно определять знак суммы.
Отрицательное число — число меньше нуля; перед ним ставят знак «−». Примеры: −2, −10, −0,5. Знак показывает, что число расположено левее нуля на координатной прямой.
Модуль числа — расстояние от точки, соответствующей числу, до нуля на координатной прямой. Модуль не бывает отрицательным: |−7| = 7 и |7| = 7. Он нужен, чтобы при сложении определить длину общего перемещения, не учитывая его направление.
Сложение чисел с одинаковыми знаками — действие, при котором складывают модули слагаемых и перед результатом ставят их общий знак. Так, для (−4) + (−6) складывают 4 и 6, а затем ставят «−». Это правило позволяет отдельно работать с величиной чисел и их направлением.
На координатной прямой положительное число задаёт движение вправо, а отрицательное — влево. При сложении чисел одного знака движения направлены в одну сторону, поэтому не отменяют, а увеличивают друг друга. Именно поэтому складываются длины перемещений, а не вычитаются.
При сложении двух положительных чисел оба перемещения идут вправо. Например, после движения на 3 единицы вправо и ещё на 5 единиц вправо точка удалится от нуля на 8 единиц. Поэтому (+3) + (+5) = +8, а общий знак остаётся положительным.
При сложении двух отрицательных чисел оба перемещения направлены влево. Если сначала пройти 4 единицы влево, а потом ещё 6, от нуля получится расстояние 10 единиц влево. Поэтому (−4) + (−6) = −10: модули сложились, а направление сохранилось.
Общее правило такое: нужно сложить модули слагаемых и поставить перед полученной суммой общий знак слагаемых. В виде формул это можно записать так: (+a) + (+b) = +(a + b), а (−a) + (−b) = −(a + b), где a и b — положительные числа. Сначала всегда определяйте знаки, а уже потом выполняйте вычисление.
Если слагаемых несколько и у всех одинаковые знаки, их модули можно складывать последовательно. Например, модули 2, 3 и 5 дают 10, поэтому сумма трёх отрицательных чисел равна −10. Группировка слагаемых помогает удобнее считать, но общий знак ставят один раз в конце.
В таблице сначала определите общий знак слагаемых, затем сложите их модули и выберите знак результата. Запись положительного знака иногда сокращают: вместо +14 обычно пишут 14. Для отрицательных чисел знак «−» перед ответом сохраняют обязательно.
| Знаки слагаемых | Что сделать с модулями | Знак суммы | Пример |
|---|---|---|---|
| Оба слагаемых положительные | Сложить модули | «+» | (+4) + (+7) = +11 |
| Оба слагаемых отрицательные | Сложить модули | «−» | (−4) + (−7) = −11 |
Оба слагаемых положительные, значит, перед нами сложение чисел с одинаковыми знаками. Их модули равны 6 и 8. Нужно сложить эти модули и сохранить общий знак «+».
Ответ: 14. Знак «+» можно не записывать, поэтому итог обычно выглядит как число 14.
Оба числа отрицательные, поэтому их движения по координатной прямой направлены влево. Модули слагаемых равны 12 и 9. Сначала складываем расстояния, а затем указываем направление знаком «−».
Ответ: −21. Ошибка была бы в записи 3 или +21, потому что модули при одинаковых знаках складывают, а не вычитают.
Все три слагаемых отрицательные, поэтому общий знак результата будет «−». Складываем модули 2,4; 3,75 и 1,6. Удобно сначала объединить десятичные дроби с одинаковым количеством знаков после запятой.
Ответ: −7,75. Можно было сложить 2,4 и 1,6 отдельно, получив 4, а затем прибавить 3,75: результат модуля будет тем же.
Вычитают модули. Так делают, перенося правило для чисел с разными знаками. При одинаковых знаках модули нужно именно складывать, поэтому проверьте, увеличивается ли общий путь.
Меняют знак результата на противоположный. Иногда знак считают несущественным после вычисления модулей. Сверьте ответ с общим направлением: у отрицательных слагаемых сумма должна быть отрицательной.
Ставят «−» перед суммой положительных чисел. Это происходит, когда знак результата выбирают случайно. Если оба слагаемых положительны, сумма расположена справа от нуля и имеет знак «+».
Забывают знак одного слагаемого. При записи примера можно увидеть только числа и не заметить один минус. Перед решением обведите или мысленно проверьте знаки всех слагаемых.
До этой темы нужно уметь распознавать положительные и отрицательные числа, а также находить модуль числа. Эти знания позволяют отдельно определить величину слагаемых и их общий знак.
Правило опирается на координатную прямую и сложение натуральных чисел. Позже оно понадобится при сложении рациональных чисел, содержащих целые и десятичные дроби, а также при решении уравнений.
Что значит, что числа имеют одинаковые знаки?
Это значит, что оба числа положительные или оба отрицательные. Например, +4 и +7 имеют знак «+», а −3 и −8 — знак «−».
Почему при сложении отрицательных чисел складывают модули?
Модуль показывает расстояние числа от нуля. При сложении отрицательных чисел движения направлены влево, поэтому их длины складываются.
Какой знак поставить перед суммой двух отрицательных чисел?
Перед результатом ставят знак «−», потому что оба слагаемых отрицательные. Например: (−5) + (−2) = −7.
Нужно ли писать знак «+» у положительных чисел?
Знак «+» можно не писать, если число положительное: +6 = 6. В примерах его иногда записывают, чтобы явно показать знак числа.
Как складывать несколько чисел с одинаковыми знаками?
Сначала складывают модули всех слагаемых удобным способом. Затем перед полученной суммой ставят общий знак чисел.
21.1. Сложение чисел с одинаковыми знаками
