"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Отрицательные числа меньше нуля и располагаются на координатной прямой левее него. При сложении двух таких чисел складывают их модули — расстояния от нуля, — а перед результатом ставят минус. Например, (−3) + (−5) = −8. Это правило помогает находить результат без сложных перемещений по прямой, а также решать задачи о понижении температуры и других изменениях в отрицательную сторону.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрицательное число — это число, которое меньше нуля. На координатной прямой такие числа находятся слева от нуля: чем дальше число влево, тем оно меньше. Это расположение помогает понять знак результата при сложении.
Модуль отрицательного числа — расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль отрицательного числа положителен: например, |−4| = 4. Модуль нужен, чтобы узнать, на сколько единиц число отстоит от нуля.
Сложение отрицательных чисел — действие, при котором складывают два числа, каждое из которых меньше нуля. Например, (−2) + (−3) — сумма двух отрицательных слагаемых. Такое сложение можно представить как последовательное движение влево по координатной прямой.
Правило сложения отрицательных чисел: чтобы найти сумму двух отрицательных чисел, складывают их модули и ставят перед результатом знак минус. Например, для (−2) + (−3) складывают 2 и 3 и получают −5. Правило отделяет величину результата от его положения относительно нуля.
На координатной прямой сложение числа можно представить перемещением от начальной точки. Если прибавить отрицательное число, нужно двигаться влево на столько единиц, сколько показывает его модуль. При сложении двух отрицательных чисел после первого движения начинается второе, тоже влево. Поэтому итоговая точка оказывается ещё дальше влево, чем каждая из начальных точек.
Модуль каждого отрицательного слагаемого показывает длину одного перемещения. Например, число −3 означает движение влево на 3 единицы, а число −5 — движение влево на 5 единиц. Эти отрезки следуют друг за другом и направлены одинаково, поэтому их общая длина равна 3 + 5. Именно по этой причине модули слагаемых складывают, а не вычитают.
Сумма двух отрицательных чисел остаётся отрицательной, потому что оба перемещения ведут влево. Начав в нуле, мы после первого перемещения уже окажемся слева от него, а второе отдалит нас ещё сильнее. Значит, итоговая точка не может оказаться справа от нуля или совпасть с ним. Это объясняет, почему перед ответом нужен знак минус.
Правило можно записать формулой: (−a) + (−b) = −(a + b), где a и b — положительные числа. Выражения a и b здесь обозначают модули слагаемых, то есть расстояния до нуля. Сначала складывают эти расстояния, а затем указывают знак получившегося числа. Например, (−4) + (−6) = −(4 + 6) = −10.
Если отрицательных слагаемых несколько, их можно складывать в удобном порядке. Например, в сумме (−2) + (−4) + (−3) сначала складывают модули 2, 4 и 3, а затем ставят перед общей суммой минус. Получается −(2 + 4 + 3) = −9. Такой способ удобен, потому что не приходится отдельно выполнять каждое движение по прямой.
Пользуйтесь таблицей как последовательностью действий: сначала найдите модули, затем сложите их. После этого поставьте перед полученной суммой минус и запишите ответ. В примерах в таблице показано, как правило применяется к числам −3 и −5.
| Что сделать | Пример | Пояснение |
|---|---|---|
| Определить модули слагаемых | |−3| = 3, |−5| = 5 | Модуль — расстояние до нуля. |
| Сложить модули | 3 + 5 = 8 | Оба перемещения направлены влево. |
| Поставить перед полученной суммой знак минус | −8 | Результат располагается левее нуля. |
| Записать ответ | (−3) + (−5) = −8 | Сумма двух отрицательных чисел отрицательна. |
Задача 1. Вычислите: (−3) + (−5). Оба слагаемых отрицательные, поэтому не нужно сравнивать их модули или выбирать больший. Найдём расстояния от каждого числа до нуля и сложим их. Результат запишем со знаком минус, потому что оба слагаемых расположены слева от нуля.
Ответ: −8.
Задача 2. Вычислите: (−2,7) + (−4,3). Здесь тоже оба числа меньше нуля, значит, применяем то же правило. Сначала работаем с модулями и складываем десятичные дроби, записывая запятую под запятой. Затем указываем знак минус, потому что итоговое перемещение направлено влево от нуля.
Ответ: −7. Ноль в конце десятичной дроби можно не писать, так как −7,0 и −7 обозначают одно число.
Задача 3. Температура была −6 °C, затем она понизилась ещё на 8 °C. Какой стала температура? Понижение температуры на 8 градусов означает изменение на −8 °C. Значит, нужно прибавить отрицательное число к первоначальной температуре. Оба слагаемых отрицательные, поэтому складываем их модули и ставим перед результатом минус.
Ответ: температура стала −14 °C. Она ниже нуля, потому что после понижения показание термометра сместилось ещё дальше в отрицательную сторону.
Забывают поставить минус. Например, из суммы модулей 3 + 5 = 8 сразу записывают ответ 8. Так происходит, если учитывать расстояние, но забыть, что результат находится слева от нуля. Проверьте направление перемещений: оба ведут влево, значит, ответ должен быть отрицательным.
Вычитают меньший модуль из большего. Это действие ошибочно переносят сюда из правила для чисел с разными знаками. При сложении двух отрицательных перемещения направлены одинаково, поэтому длины складываются. Перед вычислением проверьте знаки обоих слагаемых: если оба со знаком минус, вычесть модули не нужно.
Считают, что сумма может быть положительной. Например, думают, что достаточно сложить большие по модулю числа, чтобы ответ оказался положительным. Но каждое отрицательное слагаемое перемещает точку влево, и ни одно из них не ведёт вправо. Проверьте результат на прямой: сумма должна быть левее нуля.
Путают знак числа и знак действия. В выражении (−3) + (−5) знак плюс означает сложение, а минус перед 5 показывает, что второе слагаемое отрицательное. Если заменить его на положительное число, получится другое выражение: −3 + 5. Перед вычислением прочитайте знаки у обоих чисел отдельно от знака действия.
Для сложения отрицательных чисел нужно уметь сравнивать положительные и отрицательные числа и находить модуль. Сравнение помогает увидеть, где число находится относительно нуля, а модуль показывает расстояние до него. Эти знания позволяют выбрать правильный знак ответа и вычислить его величину. Если модуль пока трудно находить, удобно представить число на координатной прямой.
Правило применяется, когда складывают несколько отрицательных чисел: складывают все их модули и ставят перед суммой минус. Оно также пригодится при вычислениях с рациональными числами — числами, которые можно записать в виде дроби, включая целые и десятичные числа. Освоив правило, легче разбирать выражения с разными видами чисел. Главное — сначала определить знаки слагаемых.
Почему при сложении двух отрицательных чисел получается отрицательное число?
На координатной прямой оба числа находятся левее нуля. Прибавление каждого из них означает движение ещё левее, поэтому итоговая точка тоже остаётся левее нуля.
Нужно складывать или вычитать модули отрицательных слагаемых?
Модули нужно складывать. Оба числа задают перемещения влево, поэтому общая длина перемещения равна сумме их длин.
Почему перед ответом нужно поставить знак минус?
Сумма модулей показывает расстояние от нуля, а не положение результата. Так как результат находится левее нуля, ему ставят знак минус.
Чем сложение двух отрицательных чисел отличается от сложения чисел с разными знаками?
У двух отрицательных чисел складывают модули и ставят минус. Если знаки разные, модули вычитают, а знак результата определяют по числу с большим модулем.
Как представить сложение отрицательных чисел на координатной прямой?
Отметьте первое число, а затем от этой точки передвиньтесь влево на расстояние, равное модулю второго числа. Точка, в которой вы остановитесь, и будет суммой.
32. Сложение отрицательных чисел
