31. Сложение чисел с помощью координатной прямой

Определения и обозначения

Координатная прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и выбранным положительным направлением; на ней каждому числу соответствует точка. Начало отсчёта обозначают числом 0, а положительное направление обычно показывают стрелкой вправо. Единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами. Это нужно, чтобы правильно отмечать числа и понимать, в какую сторону они увеличиваются.

Сумма чисел — результат сложения. На координатной прямой её находят как координату конечной точки перемещения. Например, если движение закончилось в точке с координатой 4, то сумма равна 4. Такое представление связывает запись сложения с конкретным положением на прямой.

Сложение чисел с помощью координатной прямой — способ найти сумму: от точки с координатой первого слагаемого перемещаются на величину второго слагаемого. Первое число указывает, где начать, а второе — куда и насколько сдвинуться. Этот способ полезен, когда нужно наглядно разобраться в сложении чисел с разными знаками. Он также помогает проверять вычисления.

Перемещение на координатной прямой — движение вправо или влево на заданное число единичных отрезков. Величина перемещения показывает, сколько отрезков нужно пройти, а направление зависит от знака числа. Например, перемещение на −3 означает пройти три единичных отрезка влево. Это понятие помогает не путать знак числа с длиной пути.

Как это устроено

Сначала выбери на прямой начало отсчёта и отметь его числом 0. От него отложи одинаковые единичные отрезки, а положительное направление обозначь стрелкой вправо. Тогда справа от нуля будут положительные числа, а слева — отрицательные. Такой порядок следует из выбранного направления: при движении вправо координаты увеличиваются, при движении влево уменьшаются.

При сложении a + b первое слагаемое a задаёт начальную точку, потому что именно его координата уже известна до перемещения. Второе слагаемое b показывает, как изменить положение: насколько сдвинуться и в какую сторону. Если начинать от нуля, получится лишь перемещение b, а не обязательно сумма a + b. Поэтому начальную точку нельзя заменять началом отсчёта, кроме случая, когда первое слагаемое равно нулю.

Положительное второе слагаемое означает движение вправо, потому что вправо выбрано положительное направление. Отрицательное второе слагаемое требует двигаться влево, то есть в противоположную сторону. Количество единичных отрезков равно модулю второго слагаемого: модуль показывает расстояние до нуля без учёта знака. Например, прибавить −4 — значит пройти влево четыре единичных отрезка.

Закончив движение, найди координату точки, в которой остановился: отсчитай расстояние от нуля и учти сторону. Справа от нуля координаты положительные, слева — отрицательные, а сама точка нуля имеет координату 0. Именно найденная координата является значением суммы. Так можно получить ответ, даже если путь пересёк ноль: важно положение конечной точки, а не то, где проходило движение.

Если оба слагаемых положительные, начальная точка и движение находятся справа от нуля, поэтому перемещение продолжает движение в одном направлении. Если оба слагаемых отрицательные, движение идёт влево от отрицательной начальной точки, тоже продолжая направление. При разных знаках движение направлено противоположно начальной стороне: можно приблизиться к нулю, пройти через него или остановиться в нём. Поэтому знак суммы при разных знаках зависит от того, где оказалась конечная точка.

Сложение чисел на координатной прямой

Найди в таблице строку, которая соответствует знакам слагаемых, и выбери направление движения. Затем начни от первого слагаемого и пройди число единичных отрезков, равное модулю второго. Ответ определи по координате конечной точки относительно нуля.

Разбор задач

Найдите сумму 2 + 3 с помощью координатной прямой.

Оба числа положительные, поэтому начальная точка находится справа от нуля, а движение продолжится вправо. Второе слагаемое равно 3, значит, нужно пройти три единичных отрезка. Проследим за движением и определим координату, на которой остановимся.

1. Отметим на координатной прямой точку с координатой 2.
2. От этой точки пройдём вправо три единичных отрезка: сначала к 3, затем к 4 и к 5.
3. Конечная точка имеет координату 5, поэтому запишем результат сложения.

Ответ: 5.

Найдите сумму −4 + (−2) с помощью координатной прямой.

Первое слагаемое −4 указывает начальную точку слева от нуля. Второе слагаемое отрицательное, поэтому двигаемся влево, а расстояние равно его модулю: |−2| = 2. Так как начальная точка и движение направлены влево, конечная точка окажется ещё дальше от нуля с этой стороны.

1. Найдём на прямой точку с координатой −4.
2. От неё пройдём влево два единичных отрезка: к −5, а затем к −6.
3. Конечная точка находится на шесть единиц левее нуля, значит, её координата равна −6.

Ответ: −6.

Найдите сумму −3 + 5 с помощью координатной прямой.

Начальная точка −3 находится слева от нуля, а второе слагаемое положительное, поэтому нужно двигаться вправо. Длина перемещения составляет пять единичных отрезков. Путь пройдёт через ноль, поэтому продолжим отсчёт и после него, не меняя направления.

1. Отметим точку −3 и начнём движение от неё.
2. Пройдём вправо пять отрезков: к −2, −1, 0, 1 и 2.
3. Конечная точка находится справа от нуля и имеет координату 2, значит, сумма положительная.

Ответ: 2.

Типичные ошибки

Начинают движение от нуля, а не от точки с координатой первого слагаемого. Так можно получить координату перемещения, но не сумму, потому что начальное положение не учтено. Проверь себя: сначала найди первое слагаемое на прямой и только оттуда начинай отсчёт.

Прибавляя отрицательное число, двигаются вправо. Эту ошибку допускают, если ориентируются на слово «прибавить», не учитывая знак второго слагаемого. Проверь направление: отрицательное число всегда означает движение влево на число единиц, равное его модулю.

Считают деления, не учитывая длину единичного отрезка. Если отрезки на рисунке размечены иначе, чем ожидалось, одно деление не обязательно соответствует нужной величине. Проверь, чему равен единичный отрезок, и пройди ровно столько таких отрезков, сколько показывает модуль второго слагаемого.

Неверно определяют координату конечной точки относительно нуля. Иногда считают только пройденное расстояние и забывают начальную координату или сторону, на которой остановились. Проверь себя: найди положение конечной точки, отсчитай её расстояние от нуля и поставь знак по стороне — слева отрицательный, справа положительный.

Связь с другими темами

Для работы с координатной прямой нужно уметь отмечать на ней целые числа, сравнивать их и находить расстояние между соседними делениями. Эти знания помогают верно выбрать начальную точку и единичный отрезок. Если числа на прямой расположены правильно, направление движения и координату ответа проще определить.

Перемещение на прямой наглядно объясняет правила сложения рациональных чисел, в том числе положительных и отрицательных. Оно также позволяет проверять вычисления: начни от первого числа, выполни движение по знаку второго и сравни конечную координату с найденным ответом. При разных знаках рисунок показывает, почему результат зависит от того, по какую сторону от нуля завершилось движение.

Что запомнить

• Первое слагаемое задаёт начальную точку.
• Второе слагаемое задаёт длину и направление перемещения.
• Положительное число означает движение вправо.
• Отрицательное число означает движение влево.
• Координата конечной точки равна сумме.
• Если перемещение возвращает в начало отсчёта, сумма равна нулю.