§6. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Определения и обозначения

Положительное число — число, расположенное на координатной прямой правее нуля; оно больше нуля и обычно записывается без знака, например 5. Можно поставить перед ним знак плюс: +5. Положение числа справа от нуля помогает понимать его как величину, направленную в положительную сторону.

Отрицательное число расположено на координатной прямой левее нуля и меньше нуля. Его записывают со знаком минус: например, −5. Знак показывает направление от нуля, а не то, что число нужно вычитать из другого.

Противоположные числа отличаются только знаками и находятся на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны от него: например, 7 и −7. Их называют противоположными, потому что перемещения на 7 единиц вправо и на 7 единиц влево взаимно уничтожаются. Поэтому сумма таких чисел равна нулю.

Модуль числа — расстояние от точки, изображающей это число, до нуля; его обозначают вертикальными чертами: |a|. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда больше или равен нулю: |−5| = 5, |5| = 5. У противоположных чисел модули одинаковы, и это позволяет сравнивать их удалённость от нуля.

Как это устроено

Сложение удобно представлять как движение по координатной прямой. Первое слагаемое указывает точку, с которой начинаем, а второе задаёт длину и направление следующего перемещения: положительное число ведёт вправо, отрицательное — влево. Например, к числу 3 прибавить 2 — значит от точки 3 пройти две единицы вправо. Такой способ объясняет, почему знак второго слагаемого связан с направлением движения.

Если знаки слагаемых одинаковы, оба перемещения направлены в одну сторону. Их общая длина равна сумме длин, то есть модулей, поэтому модули складывают. При движении вправо сумма остаётся положительной, а при движении влево — отрицательной. Например, два перемещения на 4 и 3 единицы влево дают 7 единиц влево.

При разных знаках перемещения направлены в противоположные стороны. Часть пути, пройденная в одну сторону, компенсирует часть пути в другую, поэтому остаётся разность длин: из большего модуля вычитают меньший. Результат направлен туда, куда было более длинное перемещение. Значит, знак суммы совпадает со знаком слагаемого с большим модулем.

Противоположные числа имеют одинаковые модули, но разные знаки, поэтому перемещения равной длины в разные стороны полностью компенсируются. Их сумма равна нулю: например, 6 + (−6) = 0. Если модули разных знаков не равны, знак суммы определяет слагаемое с большим модулем; если равны — сумма нулевая и знака не имеет. Сравнивают именно модули, то есть расстояния до нуля.

Вычитание можно заменить сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). Это работает потому, что вычитание отменяет перемещение, соответствующее вычитаемому, и направляет движение в обратную сторону. Например, вычесть 4 — то же, что прибавить −4, а вычесть −4 — то же, что прибавить 4. После замены применяют правила сложения чисел с одинаковыми или разными знаками.

Правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел

Сначала определи, складываешь ли ты числа или вычитаешь: вычитание сразу перепиши как сложение противоположного числа. Затем посмотри на знаки и, если нужно, сравни модули. Последний столбец показывает, как применить правило к конкретному примеру.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите: (−7) + (−4). Оба слагаемых отрицательные, поэтому их перемещения направлены влево. Длины этих перемещений складываются, а знак результата остаётся общим — минус. Проверь ответ: сумма должна быть левее каждого из слагаемых на координатной прямой.

1. Найдём модули: |−7| = 7 и |−4| = 4. Модули показывают длины перемещений, не учитывая их направления.
2. Сложим модули: 7 + 4 = 11. Поскольку оба слагаемых отрицательные, перед результатом ставим минус.

Ответ: (−7) + (−4) = −11. Полученное число отрицательное, как и оба слагаемых.

Задача 2. Вычислите: 12 + (−19). Здесь одно слагаемое положительное, а другое отрицательное, значит, перемещения направлены навстречу друг другу. Сначала сравним их длины: 19 больше 12. Поэтому после компенсации останется движение влево, а знак суммы будет отрицательным.

1. Найдём модули слагаемых: |12| = 12, |−19| = 19. Больший модуль равен 19 и принадлежит числу −19.
2. Вычтем меньший модуль из большего: 19 − 12 = 7. Сохраним знак числа −19, у которого модуль больше.

Ответ: 12 + (−19) = −7. Это согласуется с движением: отрицательное перемещение длиннее положительного.

Задача 3. Вычислите: −8 − (−13) + 5 − 12. В выражении есть вычитание отрицательного и положительного чисел, поэтому сначала заменим каждое вычитание сложением противоположного числа. Так станет проще увидеть знаки слагаемых. Затем последовательно выполним сложение, сравнивая модули там, где знаки различаются.

1. Заменим вычитание сложением: −8 + 13 + 5 + (−12). Число, противоположное −13, равно 13, а противоположное 12 — −12.
2. Сложим первые два числа: −8 + 13 = 5, потому что 13 − 8 = 5 и больший модуль у положительного числа. Получим 5 + 5 + (−12).
3. Сложим положительные числа: 5 + 5 = 10. Затем найдём 10 + (−12): разность модулей равна 2, а больший модуль у отрицательного числа.

Ответ: −8 − (−13) + 5 − 12 = −2. Отрицательный знак появился потому, что в конце модуль отрицательного слагаемого 12 оказался больше положительного модуля 10.

Типичные ошибки

При сложении чисел с разными знаками иногда складывают модули, перенося правило для одинаковых знаков. Ошибка возникает, если не учесть, что перемещения идут в противоположные стороны и частично компенсируются. Например, 8 + (−3) равно 5, а не 11. Проверь себя: при разных знаках вычитай меньший модуль из большего.

Знак суммы порой выбирают по числу с большим значением, а не с большим модулем. Так можно ошибиться, потому что отрицательные числа меньше нуля, даже если их модуль велик: например, −12 меньше 5, но его модуль больше. В сумме 5 + (−12) знак будет отрицательным. Для проверки сравни расстояния до нуля, а не сами числа.

При вычитании отрицательного числа можно оставить знак вычитания и неверно выполнить действие. Это происходит, когда забывают, что вычитаемое нужно заменить противоположным числом. Например, 7 − (−2) = 7 + 2, а не 7 − 2. Перед вычислением перепиши разность как сумму: a − b = a + (−b).

Модуль отрицательного числа иногда записывают отрицательным, сохраняя его знак. Но модуль показывает расстояние до нуля, а расстояние не бывает меньше нуля. Поэтому |−9| = 9, а не −9. Проверь результат модуля: он всегда должен быть неотрицательным.

Связь с другими темами

Для вычислений в этой теме пригодятся умения сравнивать положительные и отрицательные числа на координатной прямой и находить модуль. Сравнение помогает понять, какое слагаемое задаёт направление суммы при разных знаках. Модуль показывает, какое из перемещений длиннее. Если представить действие на прямой, эти знания помогают проверять ответ.

Правила сложения и вычитания применяются дальше при действиях с рациональными числами, раскрытии скобок и решении уравнений. Замена вычитания сложением противоположного числа помогает упрощать выражения. Понимание знаков также нужно, чтобы правильно переносить слагаемые и находить неизвестное число. Поэтому полезно каждый раз сначала разбираться со знаками, а затем вычислять.

Что запомнить

• При сложении чисел с одинаковыми знаками их модули складывают, а общий знак сохраняют.
• При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитают меньший.
• Знак такой суммы совпадает со знаком слагаемого с большим модулем.
• Сумма противоположных чисел равна нулю.
• Вычитание числа заменяют сложением противоположного числа: a − b = a + (−b).
• Модуль числа — расстояние до нуля, поэтому он не бывает отрицательным.