§ 23. Умножение

Определения и обозначения

Умножение — это действие, заменяющее многократное сложение одинаковых слагаемых. Например, 4 + 4 + 4 можно записать короче: 4 · 3 = 12. Такое действие удобно, когда одно и то же число повторяется несколько раз.

Множители — числа, которые перемножают. В записи 6 · 5 числа 6 и 5 являются множителями, а произведение — результат умножения, то есть 30. Эти названия помогают понимать, какую роль играет каждое число в примере.

При умножении чисел со знаками используют правило знаков. Одинаковые знаки дают положительный знак, а разные — отрицательный. Поэтому (−4) · (−2) = 8, а (−4) · 2 = −8.

Нулевой множитель — это множитель, равный нулю. Если хотя бы один множитель равен нулю, всё произведение равно нулю: 15 · 0 = 0 и (−15) · 0 = 0. Это правило позволяет сразу закончить вычисление, не находя остальные значения.

Как это устроено

Знак произведения зависит от знаков обоих множителей, потому что каждый отрицательный множитель меняет знак результата. Если знаки одинаковые, такие изменения либо отсутствуют, либо происходят дважды, поэтому получается плюс. При разных знаках изменение происходит один раз, и результат отрицателен.

Модуль числа показывает его расстояние от нуля и не учитывает знак. При умножении сначала можно работать с расстояниями до нуля, поэтому |a · b| = |a| · |b|. Затем к полученному числу приписывают знак, найденный по правилу знаков.

Отрицательное число, умноженное на положительное, даёт отрицательное произведение: (−7) · 3 = −21. Сначала перемножают модули 7 и 3, а затем ставят минус, потому что знаки множителей разные. Если положительный множитель записан первым, результат не меняется.

При умножении двух отрицательных чисел получается положительное произведение. Например, в выражении (−6) · (−4) модули дают 24, а два минуса взаимно изменяют знак результата на положительный. Поэтому ответ равен 24, а не −24.

Произведение с нулевым множителем равно нулю, потому что умножение можно понимать как повторение слагаемого нулевое число раз. Независимо от знака другого множителя результат не содержит его значение: (−9) · 0 = 0. В произведении нескольких множителей достаточно увидеть один нуль, чтобы сразу получить нулевой ответ.

Для нескольких множителей считают только количество отрицательных чисел. Чётное число минусов даёт положительный знак, а нечётное — отрицательный. Например, в (−2) · 3 · (−5) два отрицательных множителя, поэтому произведение положительно.

Правила умножения чисел с разными знаками

Сначала найдите строку, которая соответствует знакам множителей. Затем перемножьте их модули и поставьте указанный знак. Если среди множителей есть нуль, сразу выбирайте последнюю строку и записывайте ответ 0.

Таблица особенно полезна при первых вычислениях и проверке готового ответа. Она показывает, что знак и величина произведения находятся по отдельным правилам.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите: (−8) · 6. В примере один множитель отрицательный, а второй положительный, поэтому знак результата будет отрицательным. Осталось найти произведение модулей.

1. Определяем знак: знаки разные, значит, произведение отрицательное.
2. Перемножаем модули: 8 · 6 = 48.
3. Ставим найденный знак: (−8) · 6 = −48.

Ответ: −48. Такой порядок действий помогает не потерять минус во время вычисления.

Задача 2. Вычислите: (−2,4) · (−1,5). Оба множителя отрицательные, поэтому результат будет положительным. Сначала выполняем умножение десятичных дробей без знаков.

1. Определяем знак: два одинаковых отрицательных знака дают плюс.
2. Умножаем 24 на 15: 24 · 15 = 360.
3. В обоих множителях всего две цифры после запятой, поэтому отделяем две цифры справа: 3,60 = 3,6.
4. Записываем результат с положительным знаком: (−2,4) · (−1,5) = 3,6.

Ответ: 3,6. Ноль в конце десятичной записи можно не писать.

Задача 3. Вычислите наиболее удобным способом: (−3) · 17 · (−2) · 5. В выражении два отрицательных множителя, значит, итоговый знак положительный. Для удобства сгруппируем числа так, чтобы получить простые произведения.

1. Считаем отрицательные множители: их два, поэтому знак ответа «+».
2. Переставляем множители и объединяем их: ((−3) · (−2)) · (17 · 5).
3. Вычисляем пары: (−3) · (−2) = 6, а 17 · 5 = 85.
4. Перемножаем результаты: 6 · 85 = 510.

Ответ: 510. Перестановка и группировка множителей не изменяют произведение, но делают вычисления проще.

Типичные ошибки

Первая ошибка — ставить минус при умножении двух отрицательных чисел. Так происходит, когда правило сложения отрицательных чисел переносят на другое действие. Проверьте себя: одинаковые знаки при умножении дают плюс, поэтому (−2) · (−3) = 6.

Вторая ошибка — сразу перемножать числа и забывать определить знак. Из-за этого величина может быть найдена верно, но весь ответ окажется неверным. Сначала обведите или мысленно отметьте знаки, а затем вычисляйте модули.

Третья ошибка — считать, что нуль обнуляет только положительные числа. На самом деле знак другого множителя не имеет значения: (−8) · 0 = 0. Увидев нулевой множитель, сразу запишите нулевой результат.

Четвёртая ошибка — неверно считать минусы в произведении нескольких чисел. Один пропущенный или лишний отрицательный множитель меняет знак ответа. Перечислите минусы отдельно: чётное количество даёт плюс, нечётное — минус.

Связь с другими темами

Для умножения чисел со знаками нужно знать положительные и отрицательные числа, противоположные числа и модуль. Модуль помогает отделить величину числа от его знака. Без этого трудно правильно применить правило знаков.

Также понадобятся навыки умножения натуральных чисел и десятичных дробей. Сначала находят произведение модулей обычным способом, а затем выбирают знак. Поэтому ошибки в вычислении дробей тоже влияют на итоговый ответ.

Правило умножения используется при раскрытии скобок, решении уравнений и работе с алгебраическими выражениями. Оно помогает преобразовывать записи и находить неизвестные числа. Уверенное умножение станет основой для следующих тем.

Что запомнить

• Произведение двух чисел с одинаковыми знаками положительно.
• Произведение двух чисел с разными знаками отрицательно.
• Чтобы найти модуль произведения, перемножают модули множителей.
• Произведение любого числа на нуль равно нулю.
• При умножении нескольких множителей произведение положительно, если отрицательных множителей чётное число.
• При умножении нескольких множителей произведение отрицательно, если отрицательных множителей нечётное число.