§ 24. Деление

Определения и обозначения

Делимое — число, которое делят. В записи a : b число a является делимым: из него «выделяют» равные части или узнают, сколько раз в нём содержится другое число. Этот термин помогает правильно читать выражение и понимать, какое число проверять после деления.

Делитель — число, на которое делят. В записи a : b делитель обозначен буквой b, и он показывает размер одной части или число, на которое нужно разделить делимое. Делитель не может быть равен нулю, поэтому b ≠ 0.

Частное — результат деления. Если a : b = c, то число c является частным и выполняется равенство a = b · c. Связь с умножением нужна для решения примеров и проверки ответа.

Обратное число — число, произведение которого с данным числом равно 1. Например, для 5 обратным будет ⅕, а для ⅔ — 3/2. Обратное число используют, чтобы заменить деление умножением, особенно при действиях с дробями.

Как это устроено

Деление является действием, обратным умножению, потому что оно восстанавливает неизвестный множитель. Если известно, что b · c = a, то из этого равенства можно найти c: a : b = c. Например, из 7 · 4 = 28 следует 28 : 7 = 4. Поэтому по произведению находят частное, подбирая множитель, который вместе с делителем даёт делимое.

Деление на число заменяют умножением на его обратное, потому что число и его обратное дают в произведении 1. Например, a : b = a · 1/b, если b ≠ 0. Для дроби p/q обратной является q/p, поэтому 3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2. Такая замена превращает деление в уже знакомое умножение дробей.

Знак частного определяется знаками делимого и делителя. При одинаковых знаках результат положительный: минус на минус даёт плюс, как и плюс на плюс. При разных знаках результат отрицательный. Сначала находят знак, затем делят модули, то есть числовые значения без знаков.

Нуль можно делить на любое ненулевое число, потому что 0 : b = 0 и 0 · b = 0. Деление на нуль невозможно: нельзя найти такое число c, чтобы 0 · c стало ненулевым делимым. Запись 0 : 0 тоже не определена, поскольку равенство 0 · c = 0 выполняется для любого c и единственного ответа нет.

Результат проверяют умножением: частное умножают на делитель и сравнивают с делимым. Одновременно проверяют знак и размер ответа. Например, при делении 24 на 6 должно получиться положительное число около 4, а при делении на число больше 1 результат обычно меньше делимого по модулю.

Правила деления чисел

Сначала определите, не равен ли делитель нулю, затем установите знак частного. После этого разделите модули чисел и поставьте найденный знак. Строку про нуль применяйте только тогда, когда нуль является делимым, а делитель ненулевой.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: −24 : 6.

Здесь делимое отрицательное, а делитель положительный, поэтому знаки разные. Значит, частное будет отрицательным. Осталось разделить модули 24 и 6.

1. Определяем знак: − : + = −.
2. Делим модули: 24 : 6 = 4.
3. Соединяем знак и результат: −24 : 6 = −4.

Ответ: −4. Проверка: −4 · 6 = −24, поэтому деление выполнено верно.

Задача 2. Вычислить: −3/5 : 9/10.

Делимое отрицательное, а делитель положительный, поэтому ответ будет отрицательным. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь 10/9. Затем сокращаем множители, чтобы вычисления стали проще.

1. Меняем деление на умножение: −3/5 : 9/10 = −3/5 · 10/9.
2. Сокращаем 10 и 5, получаем −3 · 2/9.
3. Сокращаем 3 и 9: −3 · 2/9 = −2/3.

Ответ: −2/3. Проверка: −2/3 · 9/10 = −18/30 = −3/5, значит, результат совпал с делимым.

Задача 3. Решить уравнение: x : (−2/3) = 9.

В уравнении неизвестно делимое x, а частное и делитель известны. Чтобы восстановить делимое, частное умножают на делитель. Знак ответа будет отрицательным, потому что 9 умножается на отрицательную дробь.

1. Умножаем обе части на делитель: x = 9 · (−2/3).
2. Сокращаем 9 и 3: x = −3 · 2 = −6.
3. Проверяем подстановкой: −6 : (−2/3) = −6 · (−3/2) = 9.

Ответ: x = −6. Проверка дала исходное частное, поэтому корень уравнения найден правильно.

Типичные ошибки

Иногда ученик ставит отрицательный знак при делении двух отрицательных чисел. Так происходит из-за смешения правил деления и сложения, где знаки действительно рассматривают иначе. Проверьте себя: одинаковые знаки при делении дают положительный результат, например −12 : (−3) = 4.

При делении на дробь можно перевернуть только числитель или только знаменатель. Это меняет дробь неправильно, потому что обратной должна стать вся дробь: p/q превращается в q/p. После замены проверьте, что исходная дробь и полученная обратная дают произведение 1.

Запись 0 : 0 = 0 ошибочна, хотя нуль часто получается при делении нуля. Правило 0 : b = 0 работает только при b ≠ 0. Перед вычислением обязательно посмотрите на делитель и убедитесь, что он не равен нулю.

Минус иногда теряется при сокращении дробей или замене деления умножением. Сокращать можно положительные множители, а знак нужно сохранить отдельно до конца вычислений. Полезно сначала определить знак частного, а затем работать только с модулями.

Связь с другими темами

Перед изучением деления нужно знать умножение рациональных чисел, действия с обыкновенными дробями и обратные числа. Эти навыки позволяют быстро находить модули частного и правильно заменять деление дробей умножением.

Деление используется при решении уравнений и пропорций, когда нужно найти неизвестный множитель или одну часть равенства. В текстовых задачах оно помогает распределять величины поровну и находить цену, скорость, массу одной единицы.

Правила деления нужны при работе с отношениями, координатами и алгебраическими выражениями. Уверенное владение знаками и дробями помогает преобразовывать такие выражения без потери смысла.

Что запомнить

• Деление — действие, обратное умножению.
• a : b = c означает, что a = b · c, при b ≠ 0.
• Чтобы разделить на число, можно умножить на обратное ему число.
• При делении чисел с одинаковыми знаками частное положительно.
• При делении чисел с разными знаками частное отрицательно.
• Нуль, делённый на ненулевое число, равен нулю.
• На нуль делить нельзя.