§ 22. Вычитание

Определения и обозначения

Уменьшаемое — число, из которого вычитают; в записи a − b это первый компонент, то есть a. Например, в выражении 12 − 5 уменьшаемое равно 12. Это число задаёт исходное значение, от которого мы отнимаем часть или величину.

Вычитаемое — число, которое вычитают; в записи a − b это второй компонент, то есть b. В примере 12 − 5 вычитаемое равно 5. Оно показывает, на сколько единиц нужно изменить уменьшаемое, и его знак тоже имеет значение.

Разность — результат вычитания, а также само выражение a − b. Например, 12 − 5 = 7, значит, 7 — разность чисел 12 и 5. Название помогает различать действие и его результат, особенно когда нужно проверить вычисление.

Противоположные числа имеют равные модули и противоположные знаки: например, 6 и −6. Их сумма равна нулю, поэтому при вычитании число заменяют противоположным и прибавляют его. Это позволяет выполнять вычитание положительных и отрицательных чисел по правилам сложения.

Как это устроено

Вычитание связано со сложением: разность a − b — это число, которое нужно прибавить к b, чтобы получить a. Например, 9 − 4 = 5, потому что 5 + 4 = 9. Такой взгляд особенно полезен, когда вычитаемое или уменьшаемое отрицательное: можно проверить результат обратным сложением.

Правило замены вычитания выглядит так: a − b = a + (−b). Почему оно работает? Чтобы вычесть b, нужно добавить число, которое вместе с b даст ноль, а это противоположное число −b. Например, 7 − 3 = 7 + (−3). После замены остаётся применить знакомые правила сложения.

Если вычитают положительное число, значение уменьшается на это число. На числовой прямой это движение влево: от точки 4 при вычитании 6 приходим к точке −2. Замена показывает то же самое: 4 − 6 = 4 + (−6) = −2. Если перейти через ноль, результат станет отрицательным.

При вычитании отрицательного числа происходит обратное: a − (−b) = a + b. Например, из числа 3 вычесть −2 — значит прибавить 2 и попасть в точку 5. Причина в том, что противоположное число для −2 — это +2. Поэтому два знака минус в записи вычитания отрицательного числа превращаются в плюс.

В выражениях с несколькими вычитаниями сначала выполняют действия в скобках, затем остальные действия слева направо. Удобно заменить каждое вычитание сложением противоположного числа, а потом сгруппировать слагаемые, если так считать проще. Например, в выражении 10 − (4 − 2) сначала находят разность в скобках: 4 − 2 = 2, затем вычисляют 10 − 2. Если раскрывают скобки после минуса, знаки всех слагаемых внутри меняются: −(4 − 2) = −4 + 2.

Основные случаи вычитания чисел

Сопоставляйте исходную запись с заменой на сложение: так легче заметить знак числа, которое прибавляют. Последний столбец показывает, как меняется значение или какой получается результат. После замены вычисляйте сумму по правилам сложения чисел с разными знаками.

Разбор задач

Вычислим 8 − 13. Вычитаемое положительное, поэтому после замены получим сумму чисел с разными знаками. Это помогает сразу увидеть, что результат будет отрицательным: модуль вычитаемого больше модуля уменьшаемого.

1. Заменяем вычитание сложением противоположного числа: 8 − 13 = 8 + (−13).
2. Сравниваем модули: |−13| = 13 больше, чем |8| = 8, поэтому результат будет со знаком минус.
3. Вычитаем меньший модуль из большего: 13 − 8 = 5. Получаем 8 + (−13) = −5.

Ответ: −5.

Вычислим −6 − (−9). Здесь вычитаемое отрицательное, поэтому важно не оставлять знак минус перед числом −9. Заменив вычитание сложением противоположного, получим два слагаемых с разными знаками и сможем использовать правило их сложения.

1. Вычитаемое −9 заменяем противоположным числом 9: −6 − (−9) = −6 + 9.
2. Сравниваем модули: 9 больше, чем 6, значит, сумма будет положительной.
3. Вычитаем модули: 9 − 6 = 3. Поэтому −6 + 9 = 3.

Ответ: 3.

Найдём значение выражения −12 − (5 − 17) − (−4). Здесь есть скобки и два вычитания, поэтому сначала перепишем выражение как сумму. Затем вычислим значение в скобках или сгруппируем полученные слагаемые так, чтобы не потерять знаки.

1. В скобках 5 − 17 = −12, поэтому выражение принимает вид −12 − (−12) − (−4).
2. Заменяем вычитания отрицательных чисел сложением: −12 + 12 + 4.
3. Сначала −12 + 12 = 0, затем 0 + 4 = 4.

Ответ: 4.

Типичные ошибки

При вычитании отрицательного числа иногда оставляют знак минус: например, считают, что 5 − (−2) = 5 − 2. Так происходит, если не замечают, что вычитаемое само отрицательное. Перед вычислением замените вычитание сложением противоположного числа: 5 − (−2) = 5 + 2 = 7.

При сложении чисел с разными знаками могут выбрать знак числа с меньшим модулем. Ошибка возникает, когда сравнивают сами числа, а не расстояния от нуля. Сначала найдите модули: знак результата будет у числа с большим модулем, а величину результата найдите вычитанием модулей.

После знака минус перед скобками иногда меняют знак только у первого слагаемого. Но вычитается всё выражение в скобках, поэтому противоположными становятся все его слагаемые: −(3 − 5) = −3 + 5. Проверить себя можно, раскрыв скобки на простом числовом примере и сравнив значения обеих записей.

В выражении с несколькими действиями могут начать вычитать не слева направо или выполнить действие раньше вычисления в скобках. Это меняет порядок вычислений и может дать неверный результат, поскольку вычитание не обладает переместительным свойством. Сначала выполняйте действия в скобках, затем действия одной ступени — слева направо; для проверки замените вычитание сложением.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно вычитать, нужно знать положительные и отрицательные числа, координатную прямую, модуль числа и сложение чисел с разными знаками. Эти знания помогают понять направление изменения и определить знак результата. Правило вычитания используют при преобразовании числовых выражений и решении уравнений. Оно также применяется при действиях с обыкновенными и десятичными дробями, а позднее — с алгебраическими выражениями.

Что запомнить

• Вычитание — действие, обратное сложению.
• В записи a − b число a — уменьшаемое, а b — вычитаемое.
• Разность можно заменить суммой: a − b = a + (−b).
• Чтобы вычесть число, нужно прибавить число, ему противоположное.
• Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного.
• При раскрытии скобок после знака минус знаки всех слагаемых меняются.
• Если из числа вычесть его самого, получится ноль.