9.5. Умножение и деление целых чисел

Определения и обозначения

Модуль целого числа — расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Его записывают вертикальными чертами: |a|. Например, |−5| = 5 и |5| = 5, потому что числа 5 и −5 противоположные и находятся на одинаковом расстоянии от нуля.

Умножение целых чисел — действие, при котором находят произведение и определяют его знак по знакам множителей. Множители — числа, которые перемножают, а результат называют произведением. Умение работать с модулями помогает отдельно найти числовую часть результата, не путая её со знаком.

Деление целых чисел — действие, обратное умножению. В записи a : b число a называется делимым, b — делителем, а результат — частным. Деление помогает найти число, которое при умножении на делитель даёт делимое.

Правило знаков — способ определить знак произведения или частного по знакам исходных чисел. Если знаки одинаковые, результат положительный; если разные — отрицательный. Это правило позволяет сначала решить, каким будет знак, и только потом вычислить величину результата.

Как это устроено

Для положительных чисел умножение можно представить как сложение одинаковых слагаемых: 3 · 4 = 3 + 3 + 3 + 3. При расширении этого способа на целые числа нужно сохранить обычные свойства умножения, в том числе распределительное свойство. Поэтому умножение отрицательных чисел подчиняется согласованному правилу знаков, а не случайному выбору знака.

Рассмотрим произведение −3 · 4: оно равно −12, ведь это четыре слагаемых −3. Если второй множитель уменьшать, произведения −3 · 4, −3 · 3, −3 · 2, −3 · 1 будут равны −12, −9, −6, −3; каждый раз результат возрастает на 3. Следующее значение должно быть −3 · 0 = 0, а ещё следующее — −3 · (−1) = 3. Так становится видно, почему при умножении двух отрицательных чисел получается плюс.

Ноль при умножении обнуляет результат: a · 0 = 0. Это следует из распределительного свойства: a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, и равенство возможно только при a · 0 = 0. Поэтому достаточно увидеть среди множителей ноль, чтобы сразу узнать произведение.

Деление связано с умножением: чтобы проверить частное, его умножают на делитель и получают делимое. Поэтому знак частного должен подчиняться тому же правилу, что и знак произведения: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Величину частного находят делением модулей, например |−20 : 4| = 20 : 4 = 5.

Деление на ноль невозможно, потому что никакое число, умноженное на ноль, не даст ненулевое делимое; если делимое тоже ноль, подходящих частных бесконечно много. Кроме того, деление целых чисел не всегда даёт целое число: например, 7 : 2 = 3,5. В таком случае результат можно записать дробью или десятичным числом, если это требуется.

Знаки произведения и частного целых чисел

Сначала найди строку с нужными знаками, чтобы определить знак ответа. Затем выполни действие с модулями: перемножь их или раздели. Для деления отдельно проверь, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: (−7) · 4. Один множитель отрицательный, другой положительный, поэтому произведение будет отрицательным. Для величины ответа перемножим модули: 7 · 4 = 28.

1. Знаки множителей разные, значит, ставим знак минус.
2. Находим произведение модулей: |−7| · |4| = 7 · 4 = 28.
3. Соединяем знак и найденную величину: (−7) · 4 = −28.

Ответ: −28.

Задача 2. Вычислить: (−84) : (−12). Делитель не равен нулю, значит, деление возможно. Одинаковые знаки дают положительное частное, а 84 : 12 = 7.

1. Определяем знак: оба числа отрицательные, поэтому частное положительное.
2. Делим модули: |−84| : |−12| = 84 : 12 = 7.
3. Записываем результат с найденным знаком: (−84) : (−12) = 7.

Ответ: 7.

Задача 3. Вычислить: 24 : (−3) − (−5) · 2 + (−6). Здесь есть деление, умножение и сложение с вычитанием, поэтому сначала выполним деление и умножение. После этого останется выражение только с целыми числами.

1. Считаем частное: 24 : (−3) = −8, потому что знаки разные, а 24 : 3 = 8.
2. Считаем произведение: (−5) · 2 = −10, так как знаки разные, а 5 · 2 = 10.
3. Подставляем результаты: −8 − (−10) + (−6) = −8 + 10 − 6.
4. Выполняем сложение и вычитание слева направо: −8 + 10 = 2, затем 2 − 6 = −4.

Ответ: −4.

Типичные ошибки

Иногда считают, что произведение двух отрицательных чисел отрицательно, перенося правило сложения на умножение. Но при умножении одинаковые знаки дают плюс: например, (−2) · (−3) = 6. Проверь ответ обратным действием: 6 : (−3) = −2.

При умножении или делении чисел с разными знаками легко забыть минус и получить положительный ответ. Это случается, если сосредоточиться только на вычислении модулей. Перед вычислением отдельно отметь знак результата, а затем проверь его по правилу: разные знаки — минус.

Можно правильно разделить модули, но ошибиться со знаком частного. Например, для (−18) : 3 модуль равен 6, однако ответ — −6, потому что делимое и делитель имеют разные знаки. Для проверки умножь частное на делитель: (−6) · 3 = −18.

Деление на ноль иногда принимают за ноль, особенно когда видят ноль в записи. Но 5 : 0 не равно 0: проверить такой ответ умножением нельзя, ведь 0 · 0 не равно 5. Запомни отдельно: 0 : b = 0 при b ≠ 0, а деление на ноль не определено.

Связь с другими темами

Перед этой темой полезно знать положительные и отрицательные числа, противоположные числа, модуль, порядок действий и свойства умножения. Те же правила знаков применяются к рациональным числам, в том числе к дробям. Дальше они понадобятся при решении уравнений и раскрытии скобок. Умножение и деление со знаками также встречаются в координатах и алгебраических выражениях.

Что запомнить

• При умножении и делении чисел одного знака результат положительный.
• При умножении и делении чисел разных знаков результат отрицательный.
• Чтобы найти модуль произведения, нужно перемножить модули множителей.
• Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
• Произведение любого числа на ноль равно нулю.
• Деление на ноль невозможно.
• В выражениях сначала выполняют умножение и деление, затем сложение и вычитание.