10.1. Понятие множества

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Например, множество гласных букв русского языка объединяет буквы а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я. Такое понятие помогает говорить сразу о группе объектов, а не перечислять их каждый раз.

Элемент множества — объект, который входит в данное множество. Элементом может быть число, буква, геометрическая фигура, человек или любой другой объект. Если множество состоит из чисел, его элементами будут числа; если из букв — буквы.

Принадлежность множеству — это отношение элемента к множеству, которое обозначают символом ∈. Запись a ∈ A читается: «элемент a принадлежит множеству A». Такое обозначение позволяет коротко записать, входит ли выбранный объект в рассматриваемую группу.

Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Его обозначают символом ∅, похожим на перечёркнутый круг. Запись A = ∅ означает, что в множестве A нет ни одного объекта.

Как это устроено

Множество можно задать перечислением его элементов: элементы записывают внутри фигурных скобок, например A = {2, 4, 6}. Каждый элемент пишут только один раз, потому что множество показывает состав группы, а не число повторений каждого объекта. Поэтому запись {2, 4, 6, 4} означает то же множество, что и {2, 4, 6}: число 4 осталось одним элементом.

Другой способ — описать общее свойство всех элементов. Например, множество B можно задать так: B — натуральные числа, меньшие 5. Чтобы проверить объект, нужно подставить его в условие и выяснить, выполняется ли оно полностью; для числа 3 ответ положительный, а для числа 5 — отрицательный. Если условие состоит из нескольких частей, должны выполняться все части одновременно.

Запись a ∈ A читают «a принадлежит A», а запись a ∉ A — «a не принадлежит A». Принадлежность означает, что объект действительно входит в состав данного множества, а не просто упоминается рядом с ним. Например, в записи A = {1, 3, 5} число 3 принадлежит A, поэтому 3 ∈ A, а число 4 лишь может быть названо в разговоре, но 4 ∉ A.

Порядок перечисления не меняет множество, потому что состав остаётся прежним. Например, {а, б, в} и {в, а, б} содержат одинаковые элементы. По той же причине повторение элемента ничего не добавляет: {1, 2, 2, 3} и {1, 2, 3} задают одну группу объектов.

Пустое множество распознают по отсутствию объектов, удовлетворяющих условию. Например, натуральное число одновременно меньше 3 и больше 7 найти нельзя, поэтому соответствующее множество равно ∅. Это не то же самое, что незаписанное множество: если состав просто не указан, ещё неизвестно, есть ли в нём элементы.

Запись множеств и принадлежности

Сначала определите, что именно описывается, а затем найдите подходящую запись в таблице. При проверке принадлежности смотрите не на внешний вид числа или буквы, а на условие, которому должны соответствовать элементы. Фигурные скобки используют для перечисления, а символы ∈ и ∉ — для связи элемента с множеством.

Разбор задач

1. Гласные буквы русского алфавита

Условие: запишите перечислением множество гласных букв русского алфавита. Нужно выбрать только буквы, которые являются гласными, и не повторять их.

1. Перечислим гласные буквы: а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я.
2. Заключим найденные элементы в фигурные скобки.

Ответ: {а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я}.

2. Натуральные числа, меньшие 5

Условие: A — множество натуральных чисел, меньших 5. Требуется записать A перечислением и проверить записи 3 ∈ A и 5 ∈ A.

1. Натуральные числа, меньшие 5, — это 1, 2, 3 и 4, поэтому A = {1, 2, 3, 4}.
2. Число 3 есть в списке, значит, 3 ∈ A.
3. Числа 5 в списке нет, так как оно не меньше 5, значит, 5 ∉ A.

Ответ: A = {1, 2, 3, 4}; 3 ∈ A — верно, 5 ∈ A — неверно.

3. Несовместимые условия

Условие: B — множество натуральных чисел, одновременно меньших 3 и больших 7. Нужно определить его элементы и записать множество.

1. Число должно быть меньше 3 и в то же время больше 7.
2. Такого натурального числа нет: число, большее 7, не может быть меньше 3.
3. Подходящих элементов нет, поэтому используем обозначение пустого множества.

Ответ: B = ∅.

Типичные ошибки

Повтор считают новым элементом. Ошибка появляется, когда ученик воспринимает множество как список с количеством записей. Проверьте себя: удалите повторы — если состав не изменился, новых элементов не появилось.

Считают порядок элементов важным. Так бывает, если путать множество с последовательностью. Переставьте элементы местами: если набор объектов тот же, множество осталось прежним.

Путают ∈ и включение множеств. Символ ∈ связывает один элемент и множество, а не два множества. Для самопроверки назовите левую часть объектом: если это число или буква, запись может обозначать принадлежность.

Думают, что пустого множества не бывает. Отсутствие элементов не отменяет существование самого множества: оно задано условием, которому ничего не соответствует. Проверьте все условия вместе и только после этого записывайте ∅.

Связь с другими темами

Перед изучением множеств полезно уметь находить общий признак у объектов и проверять простые условия. Эти навыки нужны, чтобы правильно задавать множество и решать, принадлежит ли ему выбранный объект.

Позже множества помогут описывать числовые множества, отмечать числа на координатной прямой и записывать решения уравнений и неравенств. Например, набор чисел, удовлетворяющих неравенству, можно рассматривать как отдельное множество.

Что запомнить

• Множество объединяет объекты, рассматриваемые как единое целое.
• Объект, входящий в множество, называется его элементом.
• Запись a ∈ A означает, что a принадлежит множеству A.
• Запись a ∉ A означает, что a не принадлежит множеству A.
• Множество можно задать перечислением элементов или описанием общего свойства.
• Порядок записи и повторение элементов не меняют множество.
• Пустое множество не содержит элементов и обозначается ∅.