"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Правильный многогранник — выпуклое объёмное тело, составленное из одинаковых правильных многоугольников. Его особенность не только в равных гранях: во всех вершинах сходится одно и то же число граней. Из этого условия получаются ровно пять видов таких тел — тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Для них можно находить число рёбер и вершин, используя свойства граней и формулу Эйлера.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Это определение помогает отличить особые симметричные тела от других многогранников.
Грань — многоугольник, ограничивающий многогранник. В правильном многограннике все грани одинаковы по форме и размеру, поэтому по одной грани можно понять, какие многоугольники образуют всё тело.
Ребро — сторона, общая для двух соседних граней. Рёбра образуют границы граней и помогают подсчитывать устройство многогранника: каждое из них принадлежит ровно двум граням.
Вершина — точка, в которой сходятся рёбра и грани. Для правильного многогранника важно не только количество вершин, но и одинаковое число граней, встречающихся в каждой из них.
Одинаковых правильных граней недостаточно для правильного многогранника. Например, одни и те же квадраты можно соединить так, чтобы в одной вершине встречались три грани, а в другой — другое число или иное расположение. Поэтому проверяют не только форму граней, но и одинаковое устройство всех вершин.
В каждой вершине плоские углы соседних граней складываются. Их сумма должна быть меньше 360°, потому что тогда поверхность загибается в пространстве и образует выпуклую вершину. Если сумма равна 360°, грани могут разложиться в плоскость, а если больше 360° — они не смогут образовать выпуклое тело.
Вид правильного многогранника определяется двумя числами: числом сторон у грани и числом граней, сходящихся в вершине. Угол правильного многоугольника зависит от числа его сторон, поэтому условие суммы меньше 360° ограничивает возможные сочетания. Например, из треугольников можно собрать тело, где встречаются три, четыре или пять граней, а из квадратов — только тело с тремя гранями в каждой вершине.
Так получаются пять тел. Тетраэдр составлен из треугольников, по три в вершине; октаэдр — из треугольников, по четыре; икосаэдр — из треугольников, по пять. Куб имеет квадратные грани и по три грани у вершины, а додекаэдр — пятиугольные грани и также по три грани у вершины.
| Многогранник | Форма грани | Число граней | Число рёбер | Число вершин | Число граней у вершины |
|---|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | Треугольник | 4 | 6 | 4 | 3 |
| Куб | Квадрат | 6 | 12 | 8 | 3 |
| Октаэдр | Треугольник | 8 | 12 | 6 | 4 |
| Додекаэдр | Пятиугольник | 12 | 30 | 20 | 3 |
| Икосаэдр | Треугольник | 20 | 30 | 12 | 5 |
В таблице сначала определяйте форму грани и число граней, сходящихся в вершине: эта пара признаков называет многогранник. Остальные числа можно использовать для проверки вычислений. Например, у тела с 8 треугольными гранями сразу узнаём октаэдр.
Задача 1. У правильного многогранника гранями служат равные квадраты, а в каждой вершине сходятся три грани. Назовите многогранник. Нужно сопоставить оба признака, потому что одного описания грани недостаточно.
Ответ: куб.
Задача 2. У многогранника 8 треугольных граней. Сколько у него рёбер и вершин, если он правильный? Сначала найдём рёбра по граням, а затем применим формулу Эйлера V − E + F = 2.
Ответ: 12 рёбер и 6 вершин.
Задача 3. Можно ли составить правильный многогранник из правильных пятиугольников, если в каждой вершине сходятся три грани? У правильного пятиугольника внутренний угол равен 108°, поэтому проверим сумму трёх углов.
Ответ: да, можно; получится додекаэдр.
Считать правильным любой многогранник с одинаковыми правильными гранями. Ошибка возникает, если забыть проверить вершины. Сравните число граней, сходящихся в разных вершинах: оно должно быть одинаковым.
Умножать число граней на число сторон без деления на два. Так делают, потому что считают стороны каждой грани отдельно. Каждое ребро встретилось дважды, поэтому результат обязательно делят на 2.
Путать число граней у вершины с числом рёбер. Первое число относится к одной вершине, второе — ко всему телу. Полезно мысленно выделить одну вершину и пересчитать только грани вокруг неё.
Считать допустимой сумму углов 360°. При такой сумме поверхность не загибается в выпуклую вершину. Проверяйте именно строгое неравенство: сумма должна быть меньше 360°.
Для изучения правильных многогранников нужны знания о многоугольниках, их сторонах и углах, а также о вершинах, рёбрах и гранях. Эти понятия уже знакомы по изучению плоских фигур, но здесь они объединяются в объёмных телах.
Тема пригодится при изучении развёрток, площадей поверхности и объёмов. По форме и числу граней можно представить, как многогранник раскладывается на плоскости и из каких частей вычисляются его характеристики.
Что делает многогранник правильным?
У него все грани являются равными правильными многоугольниками. Кроме того, в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Почему недостаточно, чтобы все грани были одинаковыми правильными многоугольниками?
Грани могут быть одинаковыми, но соединяться в вершинах по-разному. Для правильного многогранника устройство всех вершин должно быть одинаковым.
Сколько существует правильных многогранников?
Существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Как определить число рёбер по числу граней?
Если каждая грань имеет n сторон, а граней всего F, то сначала считают F · n сторон у всех граней. Каждое ребро посчитано дважды, поэтому число рёбер E = F · n : 2.
Почему сумма углов граней у вершины должна быть меньше 360°?
Тогда грани собираются вокруг вершины с пространственным изгибом и образуют выпуклое тело. При сумме 360° поверхность распрямляется, а при большей сумме выпуклый многогранник получить нельзя.
4. Правильные многогранники
