"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Правильный многоугольник — фигура, у которой все стороны и все углы равны. К ней относятся, например, квадрат и правильный шестиугольник. Если соединить центр такой фигуры с вершинами, она распадётся на равные треугольники. Это помогает находить центральный и внутренний углы, периметр и площадь. Также у правильного многоугольника есть радиус описанной окружности и апофема — расстояние от центра до стороны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многоугольник — многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Если равны только стороны, углы могут различаться; если равны только углы, стороны могут быть разной длины. Поэтому для правильности нужны оба условия: вместе они задают одинаковое устройство фигуры.
Центр правильного многоугольника — точка, равноудалённая от всех его вершин. Она является центром описанной окружности: окружность с таким центром проходит через каждую вершину. Центр нужен, чтобы рассматривать симметрию фигуры и разбивать её на одинаковые части.
Радиус описанной окружности — расстояние от центра правильного многоугольника до любой его вершины. Обычно его обозначают R. Все такие отрезки равны, потому что вершины лежат на одной окружности с центром в этой точке.
Апофема — перпендикуляр, опущенный из центра правильного многоугольника на его сторону. Её длину часто обозначают r. Апофема является радиусом вписанной окружности, которая касается каждой стороны; она помогает находить площадь фигуры.
У правильного многоугольника можно провести окружность через все вершины: благодаря равенству сторон и углов фигура имеет ось симметрии для каждого одинаково устроенного участка. Точка пересечения осей симметрии находится на одинаковом расстоянии от вершин и становится центром окружности. Если соединить её с вершинами, получатся треугольники с одинаковыми боковыми сторонами-радиусами. У соседних треугольников равны также основания — стороны многоугольника, поэтому треугольники равны.
Вокруг центра сходятся n равных центральных углов, где n — число сторон. Вместе они составляют полный угол, то есть 360°. Поэтому каждый центральный угол равен 360°/n: целое делят на n равных частей. Например, если сторон шесть, на каждый угол приходится 60°.
Чтобы найти внутренние углы, можно разделить выпуклый многоугольник диагоналями из одной вершины на треугольники. Для n-угольника получится n − 2 треугольника: два угла фигуры уже заняты краями каждого нового треугольника, поэтому их число на два меньше числа сторон. Сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°, так как у каждого треугольника сумма углов 180°. В правильном многоугольнике все n углов равны, значит, один угол равен (n − 2) · 180°/n.
Апофема падает на сторону под прямым углом. Если соединить центр с концами этой стороны, то получится равнобедренный треугольник: его боковые стороны — радиусы, а основание — сторона многоугольника. Перпендикуляр из вершины равнобедренного треугольника делит основание пополам, поэтому апофема, радиус и половина стороны образуют прямоугольный треугольник. Это позволяет находить неизвестный элемент по двум известным, используя свойства прямоугольного треугольника.
Радиусы делят весь правильный многоугольник на n равных треугольников, поэтому его периметр можно найти как сумму равных сторон: P = n · a. Площадь фигуры — сумма площадей этих треугольников. Если высота каждого треугольника равна апофеме r, сложение их площадей даёт формулу S = P · r/2. Значит, разбиение на треугольники помогает связать сторону, периметр, апофему и площадь.
| Характеристика | Обозначение или значение | Как найти |
|---|---|---|
| Число сторон | n | Посчитать стороны многоугольника |
| Центральный угол | 360°/n | Разделить 360° на n |
| Внутренний угол | (n − 2) · 180°/n | Сначала найти сумму углов, затем разделить на n |
| Периметр | P = n · a | Длину стороны a умножить на число сторон |
| Число равных треугольников при соединении центра с вершинами | n | Оно равно числу вершин и сторон |
Сначала определи число сторон n и проверь, какую именно величину требуется найти: центральный угол, внутренний угол или периметр. Для внутреннего угла нужна формула с суммой углов многоугольника, а не формула центрального угла. Буква a в строке периметра означает длину одной стороны.
Задача 1. У правильного шестиугольника сторона равна 4 см. Найдите его периметр и центральный угол. Сначала используем равенство всех сторон, чтобы вычислить длину границы; затем полный угол вокруг центра разделим на шесть равных частей.
Ответ: периметр 24 см, центральный угол 60°.
Задача 2. Найдите внутренний угол правильного восьмиугольника. Внутренние углы нельзя путать с центральными: сначала вычислим сумму углов всего восьмиугольника, а затем разделим её поровну между восемью вершинами.
Ответ: 135°.
Задача 3. У правильного многоугольника центральный угол равен 24°. Найдите число его сторон и сумму внутренних углов. Центральный угол показывает, на сколько равных частей разделён полный круг, поэтому по нему можно восстановить число сторон.
Ответ: 15 сторон, сумма внутренних углов 2340°.
Ошибка: считать многоугольник правильным только из-за равенства сторон или только из-за равенства углов. Так думают, потому что одного признака часто хватает для привычной фигуры, например квадрата, но для других фигур это не так. Проверь оба условия отдельно: все стороны должны быть равны и все углы должны быть равны.
Ошибка: делить 360° на число вершин, не проверив, что ищется именно центральный угол правильного многоугольника. Число вершин действительно равно числу сторон, но деление полного угла применимо к равным углам вокруг центра. Перед вычислением уточни место угла: у центра или у вершины фигуры.
Ошибка: путать центральный угол с внутренним. Оба угла связаны с многоугольником и могут находиться рядом в рассуждении, поэтому названия легко смешать. Центральный угол расположен в центре между радиусами, а внутренний — у вершины между сторонами; сверяйся с формулой и расположением угла.
Ошибка: использовать для суммы внутренних углов формулу n · 180°. Её могут выбрать, забыв, что n-угольник делится из одной вершины не на n, а на n − 2 треугольника. Проверь результат на простом случае: у треугольника n = 3, и сумма должна быть 180°, что даёт формула (n − 2) · 180°.
Для работы с правильными многоугольниками нужны знания о видах многоугольников, свойствах углов и сумме углов треугольника. Понятия окружности, радиуса и перпендикуляра помогают понять, где находятся центр, радиус описанной окружности и апофема. Разбиение фигуры на треугольники связывает эту тему с вычислением площадей. Позже эти знания пригодятся при изучении длины окружности и площадей фигур.
Достаточно ли равенства всех сторон, чтобы многоугольник был правильным?
Нет, равенства сторон недостаточно: должны быть равны ещё и все углы. Например, ромб может иметь четыре равные стороны, но его углы не обязаны быть равными.
Как найти центральный угол правильного многоугольника?
Нужно полный угол вокруг центра, 360°, разделить на число сторон n. Получится 360°/n, потому что правильный многоугольник делится радиусами на n равных частей.
Чем центральный угол отличается от внутреннего?
Центральный угол расположен в центре многоугольника, а его стороны идут к соседним вершинам. Внутренний угол находится у вершины фигуры между двумя её сторонами.
Почему сумму внутренних углов n-угольника находят по формуле (n − 2) · 180°?
Из одной вершины можно провести диагонали и разделить выпуклый n-угольник на n − 2 треугольника. У каждого треугольника сумма углов 180°, поэтому сумма углов многоугольника равна (n − 2) · 180°.
Чем апофема отличается от радиуса описанной окружности?
Радиус описанной окружности соединяет центр многоугольника с его вершиной. Апофема опущена из центра перпендикулярно на сторону, поэтому обычно короче радиуса.
3. Правильные многоугольники
