2. Преобразования плоскости. Равные фигуры

Определения и обозначения

Преобразование плоскости — правило, которое каждой точке плоскости сопоставляет единственную точку. Точку, с которой начинают, называют исходной, а полученную по правилу — её образом. Это понятие нужно, чтобы точно описывать, как меняется положение точек и фигур.

Образ фигуры — множество образов всех точек исходной фигуры. Например, у многоугольника строят образы его вершин, а затем соединяют полученные точки в том же порядке. Так можно увидеть всю фигуру после преобразования, а не только результат для одной точки.

Движение — преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Поэтому длина каждого отрезка не меняется, а величина угла сохраняется. Движение позволяет переносить и поворачивать фигуры, не изменяя их размеров.

Равные фигуры — фигуры, одну из которых можно совместить с другой движением. При таком совмещении совпадают соответствующие стороны и углы. Определение помогает отличить равные фигуры от тех, которые только похожи по форме.

Как это устроено

Преобразование задаёт точке новое положение: для каждой исходной точки правило определяет ровно один образ. Если взять все точки фигуры и заменить каждую её образом, получится образ фигуры. У многоугольника обычно достаточно построить образы вершин и соединить их по порядку, потому что стороны соединяют те же пары соответствующих вершин. Так мы получаем целую фигуру, не меняя порядок её частей.

Движение сохраняет расстояние между любой парой точек. Значит, если взять концы отрезка, после преобразования они окажутся на таком же расстоянии друг от друга, и длина отрезка не изменится. Стороны многоугольника — тоже отрезки, поэтому их длины сохраняются. Угол задаётся направлением двух сторон из одной вершины; при движении обе стороны поворачиваются или отражаются согласованно, поэтому величина угла остаётся прежней.

При осевой симметрии образ точки находится по другую сторону заданной прямой на том же расстоянии от неё. Перпендикуляр, соединяющий точку с образом, пересекает ось в середине этого отрезка. При центральной симметрии задан центр, который является серединой отрезка от любой точки до её образа. При повороте задают центр и угол: точка движется вокруг центра, сохраняя расстояние до него.

Параллельный перенос задают направлением и расстоянием: каждую точку смещают на одинаковую длину в одном направлении. Поэтому все точки фигуры перемещаются согласованно, а расстояния между ними не меняются. Осевая и центральная симметрия, поворот и параллельный перенос сохраняют расстояния, то есть являются движениями. Способ построения образа зависит от вида преобразования, но результат не становится больше или меньше исходной фигуры.

Две равные фигуры не обязаны сразу лежать одна на другой. Одна может быть сдвинута, повёрнута или отражена относительно другой, и только после движения их точки совпадут. Возможность совмещения важнее исходного положения фигур: именно поэтому фигуры, нарисованные в разных местах, могут быть равными. При совмещении вершины, стороны и углы должны соответствовать друг другу.

Основные преобразования плоскости и их свойства

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какое преобразование задано, а затем найдите по нему образ каждой точки. Во всех четырёх случаях расстояния сохраняются, поэтому это движения. Различается только способ, которым находят новое положение точки.

Разбор задач

Постройте образ треугольника при осевой симметрии относительно заданной прямой.

Пусть треугольник имеет вершины A, B и C, а заданная прямая является осью симметрии. Образ каждой вершины нужно построить отдельно: ось должна быть серединным перпендикуляром к отрезку, который соединяет вершину с её образом. Так мы обеспечим одинаковое расстояние точек от оси и не исказим треугольник.

1. Из вершин A, B и C проведите перпендикуляры к оси симметрии.
2. Для каждой вершины отметьте на другой стороне оси точку на таком же расстоянии от оси. Полученные точки обозначьте A′, B′ и C′.
3. Проверьте, что ось пересекает AA′, BB′ и CC′ под прямым углом и делит каждый отрезок пополам.
4. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины. Полученный треугольник и есть образ.

Ответ: образ — треугольник A′B′C′, построенный отражением каждой вершины через заданную ось. Если вершина лежит на оси, она остаётся на месте. Проверка серединных перпендикуляров помогает обнаружить ошибку в расстоянии от точки до оси.

Дан четырёхугольник и его образ при параллельном переносе. Найдите длину стороны и величину угла образа, если соответствующие элементы исходной фигуры известны.

Пусть задана сторона AB длиной 5 см и угол при вершине B величиной 70°. При переносе вершины A и B переходят в соответствующие вершины A′ и B′, а остальные вершины сдвигаются тем же способом. Поскольку параллельный перенос является движением, нужные длина и угол образа равны исходным.

1. Определите, какой стороне образа соответствует AB. Это сторона A′B′.
2. Примените сохранение расстояний: A′B′ = AB = 5 см.
3. Найдите угол, соответствующий углу при B. При переносе он не меняется, поэтому его величина равна 70°.
4. Сверьте, что сравниваются именно соответствующие элементы, а не произвольные сторона и угол.

Ответ: соответствующая сторона образа равна 5 см, а угол — 70°. Здесь не требуется измерять образ линейкой или транспортиром: равенство следует из свойства движения. Если известны другие исходные длины и углы, для соответствующих элементов применяется то же правило.

Докажите, что два треугольника равны, если один можно совместить с другим поворотом, а затем параллельным переносом.

Пусть к первому треугольнику сначала применили поворот, а затем перенос, и в результате он совместился со вторым треугольником. Нужно обосновать, что последовательность двух преобразований сохраняет расстояния. Поворот не меняет расстояния между точками, и параллельный перенос тоже их не меняет.

1. Возьмите любые две точки первого треугольника и рассмотрите расстояние между ними.
2. После поворота расстояние между образами этих точек остаётся прежним, потому что поворот — движение.
3. После параллельного переноса оно также не меняется, так как перенос сдвигает точки одинаково.
4. Значит, итоговое преобразование сохраняет расстояния и совмещает треугольники. Их стороны и углы соответствуют друг другу.

Ответ: треугольники равны по определению, так как один совмещается с другим последовательностью движений. Поворот с переносом сохраняет расстояния на каждом шаге. Следовательно, итоговое совмещение не изменяет размеры фигур.

Типичные ошибки

Считать фигуры равными только потому, что они похожи по форме, — ошибка: похожая фигура может быть больше или меньше. Так думают, когда сравнивают лишь очертания и не проверяют размеры. Проверьте, можно ли совместить фигуры движением без растягивания и сжатия; для многоугольников также сравните соответствующие стороны и углы.

При осевой симметрии нельзя откладывать образ точки на произвольное расстояние от оси. Ошибка возникает, если отметить точку на другой стороне, но не проверить удаление от прямой. Проведите перпендикуляр к оси и убедитесь, что ось делит отрезок между исходной точкой и образом пополам.

При центральной симметрии центр должен быть серединой отрезка, соединяющего каждую точку с её образом, а не только одного отрезка фигуры. Иногда проверяют положение центра лишь для одной вершины и считают построение верным. Проверьте условие для всех пар соответствующих точек: отрезки должны проходить через центр, а их части по обе стороны должны быть равны.

Не следует путать образ фигуры с любым её изменением размеров. Такую ошибку допускают, когда слово «преобразование» понимают как растяжение или сжатие. Проверка простая: при движении расстояния между всеми парами точек остаются прежними, поэтому стороны не удлиняются и не укорачиваются.

Связь с другими темами

Для построения образов полезно уметь проводить перпендикуляр к прямой и находить середину отрезка: эти действия нужны при осевой и центральной симметрии. Измерение длин и углов помогает проверять построения и сравнивать соответствующие элементы фигур. Поэтому знания о преобразованиях опираются на уже знакомые геометрические построения.

Преобразования пригодятся при изучении симметрии и построении геометрических фигур. Они также помогают доказывать равенство треугольников: можно обосновать, что один треугольник совмещается с другим движением. Умение находить соответствующие вершины и элементы важно для такого доказательства.

Что запомнить

• Преобразование сопоставляет точкам плоскости их образы.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• Движение сохраняет расстояния между точками.
• При движении сохраняются длины отрезков и величины углов.
• Равные фигуры совмещаются движением.
• Поворот, симметрия и параллельный перенос — примеры движений.