"Математика", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Правильные многоугольники – это фигуры, у которых все стороны равны и все углы равны. Они встречаются в природе (например, в сотах) и в технике. В этом параграфе мы изучим их свойства, научимся находить углы и радиусы, связанные с этими фигурами, а также поймём, почему они так устроены.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны равны, и все углы равны. Например, правильный треугольник – это равносторонний треугольник, а правильный четырёхугольник – это квадрат. Они обладают высокой степенью симметрии.
Центр правильного многоугольника – это точка, равноудалённая от всех его вершин. Это значит, что вокруг правильного многоугольника можно описать окружность, центр которой совпадает с центром многоугольника. Центр важен для вычисления радиусов и апофем.
Радиус описанной окружности – это отрезок, соединяющий центр правильного многоугольника с одной из его вершин. Поскольку центр равноудалён от всех вершин, то все такие отрезки имеют одинаковую длину – радиус описанной окружности. Эта окружность проходит через все вершины многоугольника.
Апофема правильного многоугольника – это перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на его сторону. Апофема является расстоянием от центра до середины стороны. Она помогает связать радиус, сторону и углы многоугольника.
Почему у правильного многоугольника все стороны и углы равны? Все дело в симметрии. Представьте, что вы вращаете правильный многоугольник вокруг своего центра. Он будет выглядеть одинаково при любом повороте. Это возможно только в том случае, если стороны и углы равны. Если бы хотя бы одна сторона или угол были другими, симметрия бы нарушилась.
Правильные многоугольники строятся с использованием окружности. Чтобы построить правильный n-угольник, нужно на окружности последовательно откладывать равные дуги. Угол между радиусами, проведёнными к концам дуги, называется центральным углом. Центральный угол равен 360° / n. Если правильно откладывать такие дуги, получится правильный многоугольник.
Формула для суммы углов любого n-угольника – (n-2) * 180°. Почему так? Любой n-угольник можно разбить на (n-2) треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому сумма углов n-угольника равна сумме углов (n-2) треугольников, то есть (n-2) * 180°. Для правильного n-угольника все углы равны, поэтому каждый угол равен ((n-2) * 180°) / n.
Сумма углов правильного n-угольника всегда одинакова, потому что она зависит только от количества сторон 'n'. Неважно, какой именно это многоугольник (треугольник, квадрат, пятиугольник и т.д.), главное – чтобы он был правильным, то есть имел равные стороны и углы. Эта закономерность позволяет нам легко вычислять углы, зная количество сторон.
Радиус вписанной окружности – это радиус окружности, которая касается всех сторон многоугольника. Его можно найти, зная сторону и количество сторон. Разрежем правильный многоугольник на n одинаковых равнобедренных треугольников с вершиной в центре. Апофема является высотой этого треугольника и радиусом вписанной окружности. Зная сторону, можно найти апофему (и, следовательно, радиус вписанной окружности) с помощью теоремы Пифагора.
| Свойство | Правильный n-угольник |
|---|---|
| Все стороны | Равны |
| Все углы | Равны |
| Сумма углов | (n-2) * 180° |
| Величина одного угла | ((n-2) * 180°) / n |
| Центр многоугольника | Является центром описанной и вписанной окружностей |
Эта таблица поможет вам быстро вспомнить основные свойства правильных многоугольников. Используйте её при решении задач, чтобы не запутаться в формулах и определениях.
Задача 1: Найдите величину одного внутреннего угла правильного двенадцатиугольника.
Задача 2: Сторона правильного шестиугольника равна 4 см. Найдите радиус описанной окружности.
Задача 3: Найдите апофему правильного треугольника со стороной 6 см.
Путают правильный многоугольник с равносторонним треугольником: Важно помнить, что правильный многоугольник – это не только треугольник. Существуют правильные четырёхугольники (квадраты), пятиугольники, шестиугольники и т.д. Не ограничивайте себя только треугольниками.
Неправильно используют формулу для вычисления суммы углов: Забывают, что нужно вычесть 2 из количества сторон, прежде чем умножать на 180°. Помните, что это (n-2) * 180°, а не n * 180°.
Неверно рассчитывают центральный угол: Не забывайте делить 360° на количество сторон. Если вы ошибетесь в вычислении центрального угла, то построение правильного многоугольника будет неверным.
Считают, что радиус вписанной окружности всегда равен радиусу описанной окружности: Это верно только для правильного шестиугольника. В других правильных многоугольниках эти радиусы отличаются. Всегда проверяйте, какой многоугольник дан в задаче.
Теорема о сумме углов треугольника: Эта теорема лежит в основе вывода формулы для суммы углов любого n-угольника. Понимание этой теоремы поможет вам лучше понять, почему формула работает.
Свойства окружности: Знание свойств окружности (радиус, диаметр, хорда, касательная) необходимо для решения задач, связанных с вписанными и описанными окружностями правильных многоугольников.
Чем правильный многоугольник отличается от простого многоугольника?
Простой многоугольник – это фигура, стороны которой не пересекаются. Правильный многоугольник – особый вид простого многоугольника, у которого все стороны равны и все углы равны. То есть, правильный многоугольник всегда простой, но простой многоугольник не обязательно правильный.
Как найти количество сторон правильного многоугольника, если известен его внешний угол?
Сумма внешних углов любого многоугольника равна 360°. У правильного многоугольника все внешние углы равны. Поэтому, чтобы найти количество сторон, нужно разделить 360° на величину одного внешнего угла.
Все ли правильные многоугольники можно разбить на конгруэнтные треугольники?
Да, любой правильный многоугольник можно разбить на одинаковые (конгруэнтные) равнобедренные треугольники, у которых вершиной является центр многоугольника, а основанием – сторона многоугольника. Это свойство используется при вычислении площади правильного многоугольника.
Что такое центральный угол правильного многоугольника?
Центральный угол правильного многоугольника – это угол, образованный двумя радиусами, проведёнными к двум соседним вершинам. Он равен 360°, делённому на количество сторон многоугольника.
Как связаны между собой периметр и сторона правильного многоугольника?
Периметр правильного многоугольника равен произведению длины одной стороны на количество сторон. Если 'P' – периметр, 'a' – длина стороны, а 'n' – количество сторон, то P = n * a.
45. Правильные многоугольники
