9.2. Правильные многоугольники

Определения и обозначения

Многоугольник — это замкнутая фигура, составленная из отрезков. Отрезки называют сторонами многоугольника, а их концы — вершинами. Замкнутость означает, что стороны соединены друг с другом и контур фигуры не имеет разрыва. Эти слова помогают точно описывать фигуру и считать её стороны и углы.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Равенство сторон означает, что у каждой стороны одна и та же длина, а равенство углов — что все углы имеют одинаковую величину. Оба условия нужны одновременно, поэтому по одному признаку нельзя назвать фигуру правильной. Это определение позволяет отличать правильные фигуры от остальных многоугольников.

Периметр правильного многоугольника — сумма длин всех его сторон. Так как стороны равны, для нахождения периметра не обязательно измерять каждую по отдельности: достаточно узнать длину одной стороны и число сторон. Периметр показывает общую длину границы фигуры и нужен для решения задач о длине контура.

Число сторон многоугольника обычно обозначают буквой n, а длину одной стороны — буквой a. Например, у пятиугольника n = 5, а если каждая его сторона имеет длину 3 см, то a = 3 см. Короткие обозначения помогают записывать вычисления и правило для периметра: P = a × n. Здесь P обозначает периметр.

Как это устроено

Для правильности мало, чтобы стороны были одинаковыми: при равных сторонах углы могут оказаться разными. И наоборот, одинаковые углы ещё не означают, что все стороны имеют одинаковую длину. Поэтому в определении соединены два требования, и при проверке фигуры нужно выполнить оба. Это не позволяет принять за правильный многоугольник фигуру, похожую на правильную лишь по одному признаку.

У равностороннего треугольника равны все три стороны, а его углы равны, поэтому он правильный. У квадрата также совпадают все стороны и все углы, значит, он является правильным четырёхугольником. Самого названия «треугольник» или «четырёхугольник» недостаточно: у треугольника стороны могут быть разными, а у четырёхугольника — углы или стороны. Проверяют именно свойства конкретной фигуры.

Периметр находят сложением длин всех сторон. Например, если у правильного пятиугольника каждая сторона равна 4 см, можно записать 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 см. Поскольку пять слагаемых одинаковы, сложение заменяют умножением: 4 × 5 = 20 см. В общем случае при длине стороны a и числе сторон n получается правило P = a × n.

Если известны периметр и число сторон, можно найти длину одной стороны. В правильном многоугольнике периметр составлен из n одинаковых частей, поэтому его делят на n: a = P ÷ n. Например, при периметре 42 см и шести сторонах каждая сторона равна 42 ÷ 6 = 7 см. Проверка обратным действием подтверждает ответ: 7 × 6 = 42 см.

Правильные многоугольники могут иметь разное число сторон: три, четыре, пять, шесть и больше. При изменении числа сторон меняется вид фигуры, но не само определение. И у правильного треугольника, и у правильного шестиугольника все стороны равны между собой, а все углы равны между собой. Для подсчёта периметра меняется только число одинаковых слагаемых.

Примеры правильных многоугольников и вычисление их периметра

В таблице приведены примеры: числа в столбцах длины стороны и периметра выбраны для показа вычислений. Чтобы проверить результат, умножь длину одной стороны на число сторон. Сравнивая строки, можно увидеть, что правило работает при любом числе сторон.

Разбор задач

Задача 1. Из нескольких изображённых фигур нужно выбрать правильные многоугольники и объяснить выбор по длинам сторон и величинам углов. Проверять фигуры следует по определению, а не только по внешнему сходству. Условие не задаёт конкретные фигуры и их измерения, поэтому запишем порядок действий для каждого изображения.

1. Посчитай стороны и сравни их длины: все они должны быть равны.
2. Сравни углы: они тоже должны быть равны между собой.
3. Выбери только фигуры, у которых выполнены оба условия.

Ответ: правильными являются фигуры с равными сторонами и равными углами. Если у фигуры равны только стороны или только углы, её выбирать нельзя. При проверке измерений учитывай точность рисунка: если значения указаны в условии, ориентируйся на них.

Задача 2. Найди периметр правильного пятиугольника со стороной 4 см. Периметр — это сумма длин пяти сторон, каждая из которых равна 4 см. Умножение помогает записать эту сумму короче.

1. Определи число сторон: у пятиугольника их пять, значит, n = 5.
2. Запиши длину стороны: a = 4 см.
3. Вычисли периметр: P = a × n = 4 × 5 = 20 см.

Ответ: периметр равен 20 см. Проверить вычисление можно сложением: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 см. Единицу измерения записываем в сантиметрах, потому что длина стороны дана в сантиметрах.

Задача 3. Периметр правильного шестиугольника равен 42 см. Найди длину его стороны. Все шесть сторон имеют одинаковую длину, поэтому периметр делится на шесть равных частей. Чтобы убедиться в результате, можно снова умножить найденную длину на число сторон.

1. Определи число сторон шестиугольника: n = 6.
2. Раздели периметр на число сторон: a = 42 ÷ 6 = 7 см.
3. Проверь ответ: 7 × 6 = 42 см.

Ответ: длина стороны равна 7 см. Проверка показывает, что шесть таких сторон дают указанный периметр. Деление здесь нужно потому, что известна сумма равных сторон и требуется найти длину одной из них.

Типичные ошибки

Ошибка: называть правильным любой многоугольник с равными сторонами. Так поступают, когда проверяют только то, что легче заметить или измерить, и забывают про углы. Проверь и стороны, и углы: если хотя бы одно условие не выполнено, фигура не является правильной.

Ошибка: считать правильным любой прямоугольник, потому что все его углы равны. У прямоугольника противоположные стороны равны, но соседние стороны могут иметь разную длину. Сравни длины всех сторон: прямоугольник будет правильным, только если они тоже равны, то есть если это квадрат.

Ошибка: при вычислении периметра умножать сторону на число вершин или углов, не проверив, сколько сторон у фигуры. Обычно у многоугольника число вершин, углов и сторон совпадает, но в задаче важно считать именно стороны, которые входят в периметр. Пересчитай отрезки по контуру и используй их количество в умножении.

Ошибка: делить длину стороны на число сторон, когда ищут периметр. Путают два обратных действия: периметр находят умножением, а длину стороны — делением известного периметра на число сторон. Проверь, что именно спрашивают: общий путь по контуру или длину одного отрезка.

Связь с другими темами

Для изучения правильных многоугольников нужно знать, что такое многоугольник, сторона и вершина, а также уметь сравнивать длины отрезков и величины углов. Эти знания позволяют проверить оба условия правильности. Равенство сторон и правило периметра пригодятся при вычислении границ фигур и решении геометрических задач. Правильные многоугольники также встречаются при изучении симметрии и построений, а похожие формы можно заметить в окружающем мире.

Что запомнить

• У правильного многоугольника все стороны равны.
• У правильного многоугольника все углы равны.
• Равенства только сторон или только углов недостаточно.
• Периметр — сумма длин всех сторон.
• Периметр правильного многоугольника равен длине стороны, умноженной на число сторон.
• Длину стороны можно найти, разделив периметр на число сторон.