9.3. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки

Определения и обозначения

Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Например, у правильного треугольника три одинаковые стороны и три одинаковых угла. Чтобы проверить, что фигура правильная, нужно учитывать оба условия, а не только длину сторон. Это определение помогает отличить правильную фигуру от многоугольника, который лишь похож на неё.

Окружность — линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Это расстояние называется радиусом. При построении многоугольника окружность служит местом, на котором отмечают его вершины. Так все вершины оказываются на одинаковом расстоянии от центра.

Вписанный многоугольник — многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эту окружность называют описанной около многоугольника. Слово «вписанный» напоминает, что вершины расположены на окружности, а стороны соединяют их внутри неё. Такое расположение удобно для построения фигур с равными сторонами.

Построение циркулем и линейкой — способ создавать геометрические фигуры с помощью этих инструментов. Циркулем проводят окружности и отмечают расстояния, а линейкой проводят прямые через выбранные точки. Также отмечают точки пересечения окружностей и прямых. Эти действия позволяют получать вершины фигуры точно, а не на глаз.

Как это устроено

Правильный многоугольник удобно начинать строить с окружности, потому что её центр задаёт одинаковое расстояние до любой точки на ней. Выбрав окружность, мы заранее помещаем все будущие вершины на одну линию и не даём им случайно оказаться ближе или дальше от центра. Затем окружность нужно разделить на равные части. Так у фигуры появляется основа для одинаковых сторон и углов.

Если дуги окружности равны, то равны и хорды, которые их стягивают. Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; в многоугольнике такая хорда становится стороной. Поэтому, когда вершины стоят через равные дуги, соседние стороны имеют одинаковую длину. Это объясняет, почему равномерное размещение точек помогает получить правильную фигуру.

Для правильного треугольника можно использовать радиус окружности как длину хорды. Установи раствор циркуля равным радиусу и, начиная с выбранной точки, последовательно отложи его по окружности шесть раз: получатся шесть равных дуг. Чтобы получить треугольник, соедини не соседние точки, а каждую вторую. Между выбранными вершинами окажутся равные дуги, поэтому все три стороны и все три угла будут равны.

Квадрат строят иначе: проведи через центр два взаимно перпендикулярных диаметра. Диаметр проходит через центр и соединяет две точки окружности, а два перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные дуги. Их концы становятся вершинами квадрата. Соедини концы соседних диаметров по порядку: равные дуги дают равные стороны, а симметричное расположение вершин — равные углы.

Для правильного шестиугольника установи раствор циркуля на радиус и отложи его по окружности шесть раз. Каждая полученная хорда равна радиусу, поэтому стороны шестиугольника равны. Восьмиугольник можно получить из квадрата: раздели пополам каждую дугу между его соседними вершинами. Вместо четырёх равных дуг появятся восемь, а значит, удвоится число равномерно расположенных вершин.

Построение правильных многоугольников на окружности

Сначала найди в таблице нужный многоугольник и число его сторон, затем прочитай основную идею построения. Последний столбец объясняет, почему стороны получаются одинаковыми. Если результат выглядит несимметричным, проверь, действительно ли дуги и точки расположены равномерно.

Разбор задач

На данной окружности постройте правильный шестиугольник.

У шестиугольника шесть сторон, поэтому окружность нужно разделить на шесть равных частей. Радиус окружности подходит для такого деления: он откладывается по дуге ровно шесть раз. Каждая отметка станет вершиной, а соединение соседних вершин даст стороны нужной длины.

1. Выбери на окружности точку и поставь в неё иглу циркуля. Раскрой циркуль на радиус этой окружности, то есть на расстояние от её центра до края.
2. Не меняя раствор циркуля, поставь иглу в выбранную точку и отметь следующую точку пересечения с окружностью. Переставляй иглу в новую отметку и повтори действие, пока не получатся шесть вершин.
3. Линейкой соедини соседние точки по порядку. Проверь, что последняя точка также соединена с первой и что на окружности отмечено ровно шесть вершин.

Ответ: построен правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность.

Постройте квадрат, вписанный в данную окружность.

У квадрата четыре вершины, и они должны быть расположены на одинаковом расстоянии друг от друга по окружности. Два перпендикулярных диаметра делят её на четыре равные дуги. Поэтому достаточно построить такие диаметры и соединить их концы в правильном порядке.

1. Отметь центр данной окружности и проведи через него прямую. Точки, в которых она пересечёт окружность, будут концами первого диаметра.
2. Через центр построй прямую, перпендикулярную первому диаметру. Её пересечения с окружностью дадут ещё две вершины квадрата.
3. Соедини соседние концы диаметров по окружности, не перескакивая через точки. Убедись, что получилось четыре стороны и все четыре вершины лежат на окружности.

Ответ: построен квадрат, вписанный в данную окружность.

Постройте правильный восьмиугольник, вписанный в окружность, используя построенный квадрат.

Вершины квадрата уже делят окружность на четыре равные дуги. Чтобы получить восемь равных дуг, каждую из четырёх нужно разделить пополам. Новые точки вместе с вершинами квадрата дадут восемь равномерно расположенных вершин.

1. Рассмотри дуги между соседними вершинами квадрата. Найди середину каждой дуги и отметь её на окружности, чтобы добавить четыре новые точки.
2. Проведи радиусы из центра окружности к новым точкам. Они помогают увидеть, что каждая прежняя дуга поделена на две равные части.
3. Соедини все четыре вершины квадрата и четыре новые точки по порядку вдоль окружности. Проверь, что получилось восемь сторон и ни одна вершина не пропущена.

Ответ: построен правильный восьмиугольник, вписанный в окружность.

Типичные ошибки

Можно решить, что многоугольник правильный, потому что его стороны на рисунке выглядят одинаковыми. Но равенство сторон само по себе недостаточно: у правильного многоугольника должны быть равны ещё и все углы. Такая ошибка возникает, когда полагаются на глаз, а не на построение. Проверь фигуру по двум условиям: равны ли стороны и равны ли углы.

При построении шестиугольника иногда откладывают на окружности произвольные отрезки, а не радиус. Тогда дуги могут получиться разной длины, и стороны окажутся неодинаковыми. Обычно это случается, если во время работы случайно меняют раствор циркуля. Сохраняй его неизменным и проверь, что он равен расстоянию от центра до окружности.

Если соединять вершины не по порядку, можно получить пересекающуюся или другую фигуру вместо нужного многоугольника. Например, при перескакивании через точки стороны соединят не соседние вершины. Такая ошибка возникает, когда не следят за последовательностью отметок. Проверяй, что каждая сторона идёт к ближайшей следующей вершине вдоль окружности.

Неточно проведённые перпендикулярные диаметры или дуги, разделённые не пополам, нарушают равномерное расположение вершин. Из-за этого будущие стороны могут стать разными. Причина часто в том, что точку отмечают приблизительно или не проверяют построение. Используй инструменты аккуратно и сравнивай дуги: все части окружности должны быть одинаковыми.

Связь с другими темами

Для построения полезно знать, что такое окружность, радиус, диаметр и хорда. Нужно уметь пользоваться циркулем и линейкой: точно сохранять раствор циркуля, проводить прямые и отмечать пересечения. Эти знания помогают не только строить фигуры, но и понимать, почему их вершины и стороны расположены именно так.

Построения пригодятся при изучении углов, симметрии и свойств многоугольников. Например, по расположению вершин можно увидеть симметрию квадрата, а по равным дугам объяснить равенство сторон. Точные построения также применяют в геометрических задачах, где фигуру нужно получить по заданным условиям. Это способ проверять догадки с помощью чертежа.

Что запомнить

• У правильного многоугольника равны все стороны и все углы.
• Вершины вписанного многоугольника лежат на одной окружности.
• Радиусы одной окружности равны.
• В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности.
• Перпендикулярные диаметры задают вершины вписанного квадрата.
• Деление дуг пополам позволяет удвоить число вершин.