"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Развёртка многогранника — плоская фигура, из которой, если согнуть её по нужным линиям, получается поверхность объёмного тела. Она помогает увидеть все грани сразу, проверить их форму и размеры, а затем изготовить бумажную модель. Чтобы построить развёртку, грани мысленно разрезают по некоторым рёбрам и раскладывают на плоскости. Стороны соседних граней должны совпадать, а при сгибании грани не должны накладываться. У одного многогранника бывает несколько разных развёрток.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Развёртка многогранника — плоская фигура, из которой сгибанием можно получить поверхность многогранника. Её получают, если мысленно разрезать тело по некоторым линиям и разложить его грани на плоскости. Развёртка нужна, чтобы увидеть все части поверхности и построить бумажную модель.
Грань — плоская часть поверхности многогранника. Например, у куба грани квадратные, а у прямоугольного параллелепипеда — прямоугольные. На развёртке каждой грани соответствует отдельная плоская фигура, поэтому можно проверить, все ли части поверхности учтены.
Ребро — отрезок, по которому соединяются две грани многогранника. На развёртке линия между соответствующими гранями показывает место сгиба. Это помогает понять, какие части поверхности станут соседними после складывания модели.
Развёртка куба — расположенные на плоскости шесть равных квадратов, которые при сгибании образуют куб. Квадраты должны соединяться сторонами так, чтобы стать шестью разными гранями тела. Это определение позволяет отличить развёртку от просто набора квадратов.
Чтобы получить развёртку, мысленно разрежь поверхность многогранника по некоторым рёбрам и разложи грани на столе. Часть рёбер при этом не разрезается, поэтому грани остаются соединёнными. Если разрезать все рёбра, получится набор отдельных фигур, а не одна связанная развёртка. Значит, нужно выбрать разрезы так, чтобы поверхность раскрылась, но её части не распались.
На плоском рисунке соседние грани должны соединяться общими сторонами. Причина в том, что при сгибании именно эти стороны станут одним ребром многогранника. Если стороны имеют разную длину, их нельзя совместить без растягивания или изменения фигуры. Поэтому перед построением сравнивают длины сторон и располагают рядом только те грани, которые могут встретиться в теле.
Проверить развёртку можно мысленно, сгибая её по линиям между гранями. Представь, какая грань станет основанием, а какие поднимутся вокруг неё. Затем проверь, сходятся ли стороны, закрывается ли поверхность и не попадают ли две грани на одно и то же место. Такая проверка нужна потому, что на плоском чертеже наложение граней не всегда заметно.
У одного многогранника может быть несколько разных развёрток. Это возможно, потому что разрезы можно провести по разным рёбрам, а грани — расположить на плоскости по-разному. Например, квадраты развёртки куба можно соединить в нескольких допустимых сочетаниях. Но каждый вариант должен при сгибании давать те же шесть граней без пропусков и наложений.
Развёртку куба строят из шести одинаковых квадратов и соединяют их сторонами. Одно возможное расположение — четыре квадрата подряд, один над вторым квадратом этой полосы и ещё один под ним. При складывании квадраты полосы образуют боковые грани, а два оставшихся закрывают верх и низ. Не всякий рисунок из шести квадратов подойдёт: некоторые квадраты после сгибания накроют уже занятую грань, поэтому нужно проверить, куда попадёт каждый из них.
| Многогранник | Количество граней | Форма граней | Что учитывать при построении развёртки |
|---|---|---|---|
| Куб | 6 | 6 равных квадратов | Квадраты соединяются сторонами; при сгибании должны образовать шесть разных граней без наложения. |
| Прямоугольный параллелепипед | 6 | Прямоугольники; равные грани образуют 3 пары | Нужно построить пары прямоугольников одинаковых размеров и совместить стороны равной длины. |
Сначала найди число и форму граней, затем проверь, что размеры подходящих сторон совпадают. В таблице указаны общие свойства тел, но расположить грани на плоскости можно несколькими способами. Любой вариант следует проверить мысленным сгибанием.
Среди предложенных рисунков нужно выбрать тот, который при сгибании даст куб. Сначала проверь количество и форму фигур, потому что у куба шесть одинаковых квадратных граней. Затем представь, как квадраты поднимутся и сомкнутся.
Ответ: подходит рисунок с шестью равными квадратами, которые при мысленном сгибании образуют шесть разных граней без наложения.
Нужно построить на клетчатой бумаге одну развёртку куба, у которого каждое ребро равно 3 см. Каждая грань куба является квадратом, поэтому все шесть частей развёртки будут одинаковыми. Удобно выбрать расположение из четырёх квадратов в ряд и двух квадратов по сторонам от одного из них.
Ответ: развёртка из шести квадратов со стороной 3 см; при сгибании она образует куб с ребром 3 см.
Нужно построить развёртку тела с рёбрами 2, 3 и 4 см. У него три пары равных граней: по два прямоугольника каждого размера. Стороны прямоугольников должны встречаться так, как стороны граней встречаются у собранного тела.
Ответ: развёртка из двух граней 2 × 3 см, двух 2 × 4 см и двух 3 × 4 см, соединённых совпадающими сторонами.
Ошибка — считать развёрткой любую фигуру из шести квадратов. Шесть частей сами по себе не гарантируют, что из них получится куб: некоторые квадраты при сгибании окажутся на одной грани. Так бывает, если проверяют только количество фигур. Мысленно согни рисунок и проследи, куда попадает каждый квадрат.
Нельзя соединять соседние грани сторонами разной длины. На плоском чертеже фигуры могут казаться подходящими, но при сгибании их края не совпадут. Обычно это происходит, когда стороны не измеряют или выбирают прямоугольники наугад. Проверь линейкой длины сторон, которые должны стать одним ребром.
Не путай число граней многогранника с числом фигур в произвольном наборе на бумаге. Каждой грани соответствует ровно одна часть развёртки, поэтому для куба нужны шесть квадратов. Ошибку допускают, когда считают все нарисованные линии или отдельные участки вместо фигур. Пересчитай именно части развёртки и сопоставь каждую с одной гранью.
Ещё одна ошибка — не проверять рисунок сгибанием. На плоскости трудно сразу заметить, что грани закроют одно место дважды или не сойдутся. Поэтому даже аккуратный чертёж может оказаться неправильным. Представь сгиб по каждой линии и убедись, что поверхность замыкается без пробелов и наложений.
Для работы с развёртками пригодятся знания о геометрических фигурах, их сторонах и вершинах. Нужно уметь измерять отрезки и чертить их заданной длины, иначе стороны соединяемых граней могут не совпасть. Развёртки помогают представить поверхность многогранника до того, как он станет объёмным телом. Эти знания пригодятся при изучении площади поверхности многогранников и изготовлении геометрических моделей из бумаги или картона.
Что называют развёрткой многогранника?
Это плоская фигура, составленная из частей, соответствующих граням многогранника. Если согнуть её по линиям, соответствующим рёбрам, можно получить поверхность этого тела.
Как понять, что рисунок является развёрткой куба?
На рисунке должны быть шесть равных квадратов, соединённых сторонами. Мысленно согните их: квадраты должны стать разными гранями куба, не накладываясь друг на друга.
Почему не всякое расположение шести квадратов складывается в куб?
При некоторых расположениях после сгибания два квадрата попадают на одно и то же место. В других вариантах грани не могут закрыть поверхность куба или соединиться нужными сторонами.
Как проверить правильность развёртки, не вырезая её?
Мысленно сгибайте рисунок по линиям между гранями. Проследите, какие грани окажутся рядом, и проверьте, что их стороны совпадают по длине, грани сходятся и не накладываются.
Может ли у одного многогранника быть несколько развёрток?
Да. Одни и те же грани можно соединить на плоскости разными способами, и при сгибании каждый из них может дать тот же многогранник.
9.4. Построение разверток
