9.1. Прямоугольники и развертки

Определения и обозначения

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Прямой угол похож на угол листа бумаги или тетради. Это свойство помогает отличить прямоугольник от других четырёхугольников: нужно проверить не только число сторон, но и все четыре угла.

Стороны прямоугольника — четыре отрезка, из которых он состоит. Стороны, не имеющие общей вершины, называют противоположными, а стороны с общей вершиной — соседними. Противоположные стороны равны, тогда как соседние могут иметь разную длину, например длину и ширину.

Прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, все грани которой являются прямоугольниками. Грань — плоская сторона объёмной фигуры, а у параллелепипеда таких граней шесть. Они соединены рёбрами и образуют замкнутую поверхность.

Развёртка прямоугольного параллелепипеда — плоская фигура из шести прямоугольников. Эти прямоугольники соединены сторонами так, чтобы их можно было согнуть по рёбрам. После складывания получается исходный параллелепипед.

Как это устроено

У прямоугольника четыре угла прямые, потому что именно так он определяется. Если хотя бы один угол не прямой, фигура уже не подходит под это определение, даже если у неё четыре стороны. Поэтому для распознавания достаточно пересчитать стороны и проверить каждый угол угольником или по виду на клетчатой бумаге.

Противоположные стороны прямоугольника равны, потому что они лежат между парами одинаковых прямых углов и идут параллельно друг другу. Соседние стороны встречаются в одной вершине и отвечают за длину и ширину, поэтому их размеры могут различаться. Квадрат — частный случай прямоугольника: у него сохраняются четыре прямых угла, но соседние стороны тоже равны.

Пусть три измерения параллелепипеда обозначены a, b и c. Грань, построенная на измерениях a и b, имеет размер a × b, а две такие грани находятся напротив друг друга. Остальные пары получают размеры a × c и b × c, потому что каждая грань использует два из трёх измерений.

Развёртку получают так: мысленно разрезают некоторые рёбра поверхности параллелепипеда и разгибают грани. При этом сами грани не меняются, а соединения по неразрезанным рёбрам сохраняются. Поэтому шесть прямоугольников оказываются в одной плоскости, но остаются связанными между собой.

Не всякое расположение шести прямоугольников является развёрткой. При складывании каждая грань должна занять своё место, поверхность должна закрыться полностью, а грани не должны накладываться. Если один прямоугольник попадает внутрь другого или остаётся щель, такую фигуру сложить в параллелепипед нельзя.

Грани прямоугольного параллелепипеда и их размеры

В таблице каждую пару размеров нужно читать как стороны одного прямоугольника. Число 2 означает, что такие грани расположены напротив друг друга и равны. Все три строки вместе дают шесть граней параллелепипеда.

Разбор задач

Задача 1

Условие. На рисунке даны несколько четырёхугольников. Нужно определить, какие из них являются прямоугольниками. Объясним выбор по свойству, а не по положению фигур на листе.

1. У каждой фигуры проверяем, что у неё четыре стороны и четыре угла.
2. Затем измеряем углы или сравниваем их с прямым углом. Подходят только фигуры, у которых все четыре угла прямые.
3. Наклон фигуры не учитываем: повёрнутый прямоугольник всё равно остаётся прямоугольником.

Ответ. Прямоугольниками являются все четырёхугольники с четырьмя прямыми углами. Фигуры с наклонным или острым углом не подходят. Горизонтальное положение и внешний вид сами по себе ничего не доказывают.

Задача 2

Условие. Прямоугольный параллелепипед имеет измерения 3 см, 4 см и 6 см. Требуется указать размеры трёх пар равных граней и общее число граней. Для этого составим все пары из данных измерений.

1. Перемножать измерения для этой задачи не нужно: размеры грани записываются как две её стороны. Получаем пары 3 см × 4 см, 3 см × 6 см и 4 см × 6 см.
2. Каждой паре соответствуют две противоположные грани. Значит, первой пары будет две грани, второй пары — две и третьей пары — ещё две.
3. Складываем количества: 2 + 2 + 2 = 6. Это согласуется с общим свойством прямоугольного параллелепипеда.

Ответ. Пары граней имеют размеры 3 × 4 см, 3 × 6 см и 4 × 6 см. Каждая пара состоит из двух граней. Всего граней 6.

Задача 3

Условие. Дана фигура из шести прямоугольников, соединённых сторонами. Нужно выяснить, можно ли сложить из неё прямоугольный параллелепипед. Одного количества прямоугольников недостаточно, поэтому проверим их положение и размеры.

1. Выбираем грань, которая станет основанием, и мысленно сгибаем соседние прямоугольники по её сторонам. Они должны подняться вверх и образовать боковые грани.
2. Проверяем размеры: две грани напротив должны быть одинаковыми, а боковые стороны должны совпадать по длине с рёбрами основания. Если длины не совпадают, сгибание невозможно.
3. Затем проверяем последнюю грань. Она должна закрыть верх параллелепипеда, не наложиться на другие грани и не оставить отверстия.

Ответ. Фигура является развёрткой, если все эти проверки выполняются. Если при складывании грани пересекаются, не сходятся по сторонам или оставляют незакрытое место, это не развёртка. Решение обосновывают именно мысленным складыванием.

Типичные ошибки

Иногда прямоугольником считают только фигуру с горизонтальными и вертикальными сторонами. Так происходит из-за привычного изображения в тетради. Поверните фигуру мысленно и проверьте четыре угла: важны прямые углы, а не направление сторон.

Другая ошибка — считать квадрат и прямоугольник совершенно разными фигурами. Квадрат действительно имеет дополнительное свойство: все его стороны равны. Но четыре прямых угла делают его прямоугольником, поэтому квадрат можно назвать прямоугольником особого вида.

Можно перепутать шесть граней с тремя видами их размеров. У параллелепипеда три разные пары размеров, но в каждой паре по две противоположные грани. Для проверки составьте пары a × b, a × c и b × c и посчитайте: 2 + 2 + 2 = 6.

Наконец, не следует считать любую фигуру из шести прямоугольников развёрткой. Ошибку допускают, когда смотрят только на число частей и не выполняют складывание. Проверьте, закрывают ли грани всю поверхность, не накладываются ли они и совпадают ли соединяемые длины.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уметь распознавать четырёхугольники, измерять отрезки и отличать прямой угол. Эти навыки нужны для проверки свойств прямоугольника. Без них трудно определить, подходит ли фигура под нужное определение.

Длина, ширина и высота описывают три измерения прямоугольного параллелепипеда. По ним можно определить размеры всех граней, а позже — вычислять площадь поверхности и объём. Поэтому запись a, b и c помогает перейти от рисунка к расчётам.

Развёртки пригодятся при изучении других объёмных фигур и изготовлении их моделей. По развёртке можно понять, из каких частей состоит поверхность. Она также помогает решать задачи на площадь поверхности и аккуратно строить бумажные макеты.

Что запомнить

• У прямоугольника четыре прямых угла.
• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.
• У прямоугольного параллелепипеда шесть прямоугольных граней.
• Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.
• Развёртка состоит из граней фигуры, расположенных в одной плоскости.
• При складывании правильная развёртка образует поверхность фигуры без наложений и пропусков.