§ 9. Многоугольники и развертки

Определения и обозначения

Многоугольник — замкнутая фигура, составленная из отрезков. Эти отрезки образуют стороны, а их концы — вершины. Если граница не замкнулась, многоугольника нет. Это определение помогает отличать фигуры с чёткой границей от открытых линий.

Сторона многоугольника — отрезок, входящий в его границу, а вершина — точка, где встречаются две стороны. Например, в обозначении многоугольника буквами А, В и С стороны можно представить как отрезки АВ, ВС и СА, а вершины — как точки А, В и С. Стороны соединяются концами и идут одна за другой, образуя границу фигуры. Так удобно перечислять её части и считать их.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Несоседними называют вершины, которые не соединены стороной. Например, в четырёхугольнике отрезок между вершинами напротив друг друга может быть диагональю. Это понятие позволяет рассматривать связи между вершинами внутри фигуры.

Развёртка многогранника — плоская фигура, из которой можно сложить поверхность многогранника. Она состоит из его граней, соединённых так, чтобы их можно было согнуть по рёбрам. Например, поверхность куба можно представить шестью квадратами на плоскости. Развёртка помогает увидеть, как плоские части соединяются в объёмную фигуру.

Как это устроено

Многоугольник получается из замкнутой ломаной: её звенья соединяются концами, и последний конец приходит в начало. Благодаря этому линия полностью ограничивает часть плоскости, которую можно считать фигурой. Если ломаная не замкнута, между её концами остаётся разрыв, поэтому граница не окружает область. Значит, важен не просто набор отрезков, а их соединение в замкнутую цепочку.

Название многоугольника связано с числом его сторон и вершин. У треугольника три стороны, потому что его граница состоит из трёх звеньев, а точки их соединения дают три вершины. У четырёхугольника по четыре стороны и вершины. Число сторон не может отличаться от числа вершин: при обходе границы после каждой вершины идёт сторона к следующей.

Стороны и вершины считают по границе фигуры, двигаясь от одной точки соединения к другой. Так можно не принять внутренний отрезок за часть границы и не посчитать одну вершину дважды. Диагональ проводят только между несоседними вершинами, потому что соседние уже соединены стороной. Поэтому при проверке отрезка сначала смотрят, где находятся его концы и соединены ли эти вершины по границе.

Развёртка поверхности многогранника состоит из его граней, соединённых по сторонам. При сгибании по общим сторонам эти грани становятся соседними и занимают положение, нужное для поверхности объёмной фигуры. Например, у коробки прямоугольные грани должны встретиться так, как они встречаются на самой коробке. Развёртка позволяет заранее увидеть расположение всех граней до сборки модели.

Не всякое расположение подходящих многоугольников можно сложить в нужный многогранник. При сгибании грани не должны накладываться друг на друга, иначе часть поверхности окажется закрыта дважды. Не должно оставаться и незакрытых частей, если требуется получить целую поверхность. Поэтому развёртку проверяют мысленным сгибанием или пробной моделью из бумаги, следя за положением каждой грани.

Элементы многоугольника и развёртки

Пользуйтесь таблицей, когда нужно определить элемент фигуры или проверить, подходит ли плоский рисунок для сборки. Сначала выясните, что именно изображено, затем сравните его с определением и способом проверки. Для развёртки одной проверки числа граней недостаточно: нужно представить сгибание.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображена замкнутая ломаная из пяти отрезков. Назовите многоугольник и укажите число его сторон и вершин. Сначала разберём, что означает число отрезков: каждый из них образует сторону границы. Затем посчитаем точки, в которых соседние отрезки соединяются.

1. Проследим ломаную по кругу и убедимся, что она замкнута.
2. Посчитаем её звенья: их пять, значит, сторон тоже пять.
3. Посчитаем точки соединения соседних звеньев. При обходе замкнутой границы их также пять.
4. Фигура с пятью сторонами называется пятиугольником.

Ответ: пятиугольник, пять сторон и пять вершин. Числа совпали, потому что у каждой стороны есть начало и конец на соседних вершинах, а граница замкнута.

Задача 2. Прямоугольная коробка имеет длину 8 см, ширину 5 см и высоту 3 см. Какие прямоугольники должны войти в её развёртку? У каждой грани есть две стороны, значит, её размеры задаются парой измерений коробки. Кроме того, противоположные грани прямоугольной коробки равны.

1. Грани сверху и снизу имеют длину и ширину: получаем два прямоугольника 8 × 5 см.
2. Передняя и задняя грани имеют длину и высоту: получаем два прямоугольника 8 × 3 см.
3. Две боковые грани имеют ширину и высоту: получаем два прямоугольника 5 × 3 см.
4. Проверим количество: всего получилось шесть граней, как у коробки.

Ответ: в развёртке должны быть два прямоугольника 8 × 5 см, два — 8 × 3 см и два — 5 × 3 см. Их расположение тоже имеет значение: при сгибании все грани должны соединиться в поверхность коробки.

Задача 3. Из шести одинаковых квадратов составлены два разных плоских рисунка. Нужно определить, какой можно сложить в куб. Одного подсчёта квадратов недостаточно: в кубе действительно шесть граней, но они должны занять разные стороны объёмной фигуры. Проверим рисунки, мысленно сгибая каждый по общим сторонам.

1. Выберем общий край между двумя квадратами и представим, что сгибаем по нему рисунок.
2. Продолжим складывать соседние квадраты, отмечая, какую грань куба занимает каждый из них.
3. Если два квадрата при складывании попадают на одну и ту же грань, они накладываются, значит, рисунок не подходит.
4. Если все шесть квадратов занимают разные грани и закрывают поверхность куба, рисунок является его развёрткой.

Ответ: подходит тот рисунок, при складывании которого квадраты образуют шесть разных граней без наложений и незакрытых частей. Чтобы выбрать его среди двух предложенных, нужно выполнить проверку для каждого рисунка; без самих рисунков назвать первый или второй нельзя.

Типичные ошибки

• Называть многоугольником незамкнутую ломаную — ошибка, потому что её концы не соединены и она не образует замкнутой границы. Её можно принять за фигуру, если смотреть только на отдельные отрезки, не прослеживая весь путь. Проверьте, возвращается ли линия к начальной точке.

• Считать диагональю любой отрезок между вершинами неверно: если вершины соседние, отрезок является стороной. Путаница возникает потому, что и стороны, и диагонали соединяют вершины. Для проверки посмотрите, соединены ли эти вершины соседним звеном границы.

• Число сторон и число вершин у многоугольника нельзя считать разными. Иногда одну вершину пропускают или дважды считают при обходе границы. Начните обход с одной точки и отмечайте по очереди каждую сторону и следующий за ней угол: после полного круга количества совпадут.

• Не всякая фигура из нужного числа граней является развёрткой. Например, нужные квадраты могут при сгибании попасть один на другой, хотя их количество подходит. Проверяйте рисунок складыванием: грани должны закрыть поверхность и не накладываться.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников нужно уметь узнавать отрезок, ломаную, замкнутую линию и прямоугольник. Эти знания помогают разбирать границу фигуры и её части. Позже многоугольники встречаются при изучении периметра и площади: чтобы находить эти величины, нужно понимать, где проходят стороны и как устроена фигура.

Развёртки связывают плоские фигуры с многогранниками и помогают представить их поверхность. Это полезно, когда нужно понять, как устроена коробка или другая объёмная модель. Из развёрток также делают поделки и учебные модели из бумаги и картона, сгибая их по рёбрам.

Что запомнить

• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• Число сторон многоугольника равно числу его вершин.
• Стороны — звенья ломаной, образующей границу многоугольника.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• Развёртка многогранника состоит из его граней.
• При сгибании развёртки грани должны сложиться в поверхность многогранника без наложений.