8.3. Задача нахождения суммы углов треугольника

Определения и обозначения

Внутренний угол треугольника — угол, образованный двумя его сторонами. Например, у треугольника ABC это углы ∠A, ∠B и ∠C: каждый расположен внутри фигуры у своей вершины. Именно эти три угла рассматривают, когда говорят об углах треугольника. Не путай их с углами, которые могут находиться снаружи фигуры.

Сумма углов треугольника — результат сложения трёх его внутренних углов. Если они обозначены буквами α, β и γ, сумму записывают так: α + β + γ. Это выражение помогает собрать сведения об углах в одну запись. По нему удобно находить угол, величина которого пока неизвестна.

Теорема о сумме углов треугольника — утверждение о том, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Её записывают формулой α + β + γ = 180°. Слово «теорема» означает правило, которое можно обосновать рассуждением, а не только проверить на примерах. Оно позволяет решать задачи даже тогда, когда треугольник нарисован непривычно.

Неизвестный угол треугольника — угол, величину которого находят по двум известным углам и теореме. Если известные углы обозначены α и β, неизвестный можно обозначить γ. Нужно учесть, что все три вместе дают 180°, а не просто сложить известные величины. Такое обозначение делает решение понятным и помогает не перепутать углы.

Как это устроено

Чтобы обосновать теорему, представь треугольник ABC и проведи через вершину A прямую, параллельную стороне BC. Теперь стороны AB и AC пересекают эту прямую и служат секущими, то есть пересекающими параллельные прямые линиями. Благодаря этому можно сравнить углы у вершины A с углами при стороне BC. Построение не меняет сам треугольник, а лишь помогает увидеть связи между его углами.

При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны: так называют углы, расположенные по разные стороны секущей между параллельными прямыми. Поэтому один угол, получившийся у A, равен углу при B, а другой — углу при C. Вместе с углом при A они образуют угол на проведённой прямой. Такой угол называют развёрнутым, и его величина равна 180°.

Три угла треугольника, таким образом, можно перенести к вершине A: один уже находится там, а два других равны углам, образованным параллельной прямой и сторонами. Все три заполняют развёрнутый угол без промежутков и наложений, поэтому их сумма равна 180°. В рассуждении не имеет значения, острый треугольник, тупоугольный или прямоугольный. Не важны и длины сторон: построение и свойства параллельных прямых работают для любого треугольника.

Если известны α и β, то к ним нужно добавить неизвестный γ так, чтобы сумма составила 180°: α + β + γ = 180°. Чтобы оставить γ отдельно, вычти α и β из обеих частей равенства. Получится формула γ = 180° − α − β, или γ = 180° − (α + β). Она показывает порядок действий: сначала найти сумму известных углов, затем вычесть её из 180°.

В разных треугольниках к теореме добавляют сведения об их особых углах. У равнобедренного треугольника углы при основании равны, поэтому остаток после вычитания вершинного угла делят поровну. У равностороннего треугольника все углы равны, значит, каждый составляет треть от 180°. В прямоугольном треугольнике один угол уже равен 90°, и на два острых вместе остаётся 90°.

Сумма углов треугольника и нахождение неизвестного угла

В таблице собраны известные данные и подходящие вычисления для разных случаев. Сначала выбери строку с нужным видом треугольника и проверь, что именно дано в условии. Затем используй равенство углов, если оно указано, и подставь известные величины в правило о сумме 180°.

Разбор задач

Задача 1. Найдите третий угол треугольника, если два его угла равны 45° и 65°. Нужно определить, сколько градусов остаётся от общей суммы 180° после учёта обоих известных углов. Сначала сложим известные величины, а затем сравним результат с полной суммой углов треугольника.

1. Запишем правило: сумма трёх углов равна 180°.
2. Сложим известные углы: 45° + 65° = 110°.
3. Вычтем эту сумму из 180°: 180° − 110° = 70°.

Ответ: третий угол равен 70°. Проверка: 45° + 65° + 70° = 180°, значит, найденная величина подходит.

Задача 2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании. По свойству равнобедренного треугольника эти два угла одинаковы, поэтому сначала найдём их общую сумму. Затем разделим остаток поровну между углами при основании.

1. На два угла при основании вместе приходится 180° − 40° = 140°.
2. Поскольку эти углы равны, каждый равен 140° : 2 = 70°.
3. Проверим сумму: 40° + 70° + 70° = 180°.

Ответ: углы при основании равны 70° и 70°. Делить остаток пополам можно именно потому, что треугольник равнобедренный и его углы при основании равны.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике один из острых углов на 20° больше другого. Найдите оба острых угла. Вместе они дают 90°, потому что третий угол прямой и равен 90°. Обозначим меньший острый угол буквой x градусов, а больший — x + 20 градусов.

1. Составим уравнение: x + (x + 20) = 90.
2. Сложим подобные слагаемые: 2x + 20 = 90, значит, 2x = 70.
3. Разделим обе части на 2: x = 35. Тогда больший угол равен 35° + 20° = 55°.

Ответ: острые углы равны 35° и 55°. Проверка: 35° + 55° = 90°, а разность углов составляет 20°, как сказано в условии.

Типичные ошибки

Иногда из известных углов вычитают 360° или 90°, потому что путают сумму углов треугольника с суммой углов других фигур либо с суммой острых углов прямоугольного треугольника. Для любого треугольника полная сумма равна 180°, а 90° — это сумма только двух острых углов прямоугольного треугольника. Перед вычислением проверь, какой именно угол или фигура рассматривается. После решения сложи три угла: должен получиться 180°.

Другая ошибка — сложить два известных угла и объявить их сумму третьим углом. Вероятно, при этом ученик находит лишь часть полной суммы и забывает, что неизвестный угол занимает оставшуюся часть до 180°. После сложения известных значений нужно обязательно выполнить вычитание: γ = 180° − (α + β). Проверка общей суммы сразу покажет, если вычитание пропущено.

В равнобедренном треугольнике могут посчитать углы при основании разными, хотя они равны по свойству такой фигуры. Ошибка возникает, если использовать только сумму 180° и не учесть, что известно о виде треугольника. Сначала запиши равенство двух углов, затем найди их величины. В конце проверь и равенство углов при основании, и сумму всех трёх.

Наконец, ответ иногда записывают без знака градуса или получают величину, невозможную для внутреннего угла. Каждый внутренний угол должен быть больше 0°, а сумма трёх должна составлять 180°; одного этого недостаточно, если один угол оказался нулевым или отрицательным. При вычитании внимательно следи за порядком действий и подписывай градусы. Если результат не проходит проверку, вернись к условию и вычислениям.

Связь с другими темами

Для доказательства и решения задач нужны понятия угла, треугольника и развёрнутого угла, а также свойство смежных углов: их сумма равна 180°. Полезно знать и свойства параллельных прямых, поскольку они объясняют равенство углов при доказательстве теоремы. Эти знания соединяются в одной цепочке: параллельность даёт равные углы, а равные углы помогают получить развёрнутый угол.

Теорема особенно часто встречается в задачах о равнобедренных, равносторонних и прямоугольных треугольниках. Позже она пригодится при изучении многоугольников, геометрических доказательств и построения фигур. Умение находить угол по двум другим помогает разбирать более сложные чертежи, где несколько фигур связаны между собой.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• В треугольнике три внутренних угла.
• Неизвестный угол находят вычитанием суммы двух известных углов из 180°.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.
• В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.