"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Угол образуют два луча с общим началом, а его величина показывает, насколько одна сторона повёрнута относительно другой. Чтобы сравнивать и строить углы, их измеряют в градусах. Развёрнутый угол равен 180°, а прямой — 90°. Главный инструмент для измерения и построения — транспортир: его центр ставят в вершину угла, а отсчёт начинают от нуля у одной из сторон.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало лучей называют вершиной, а сами лучи — сторонами угла. Например, у угла ABC вершина — B, а стороны — лучи BA и BC. Эти названия помогают точно описывать угол и понимать, где его измерять.
Градус — единица измерения углов. Развёрнутый угол условно делят на 180 равных частей, и каждая такая часть равна одному градусу. Это позволяет измерять углы, сравнивать их и сообщать другим людям их величину одним и тем же способом.
Градусная мера угла — число градусов, которое показывает величину угла. Её записывают числом и знаком °: например, 65° читают «шестьдесят пять градусов». Такая запись нужна, чтобы отличать меру угла от обычного числа.
Транспортир — инструмент для измерения и построения углов. У него есть центр, линейка и две шкалы с делениями от 0° до 180°; центр обычно отмечен маленькой точкой или риской. Шкалы нужны для отсчёта в разных направлениях, а центр помогает точно расположить инструмент относительно вершины угла.
Представь, что одна сторона угла неподвижна, а вторая поворачивается вокруг общей вершины. Чем больше этот поворот, тем больше угол, поэтому его величина связана с направлением сторон. Если удлинить лучи, направление не изменится, и поворот останется прежним. Значит, длина сторон не влияет на величину угла.
Градусы связаны с развёрнутым углом, потому что его удобно принять за целый поворот по прямой. Он равен 180°, а прямой угол составляет ровно половину развёрнутого. Поэтому прямой угол равен 180° : 2 = 90°. Эти ориентиры помогают прикинуть размер угла ещё до измерения: острый меньше прямого, а тупой больше него.
Чтобы измерить угол транспортиром, сначала нужно правильно совместить инструмент с его вершиной и стороной. Центр ставят точно в вершину, иначе транспортир будет измерять угол с другой точкой начала. Нулевую отметку располагают на одной стороне, потому что именно от неё начинается отсчёт поворота второй стороны. Если сторона не лежит точно на линейке, транспортир можно осторожно сдвинуть, сохраняя совпадение центра с вершиной.
На транспортире две шкалы, поскольку отсчёт можно вести влево или вправо. После совмещения посмотри, у какой шкалы ноль находится возле стороны угла, и читай именно её. Затем найди число градусов у места, где вторая сторона пересекает дугу делений. У другой шкалы у той же точки будет дополнительное число: вместе эти два числа дают 180°.
При построении угла порядок действий обратный измерению: заданное число градусов нужно отложить от уже проведённого луча. Для этого луч становится первой стороной, а транспортир совмещают с ним нулём. Отметку нужного числа ставят на дуге, после чего через вершину и отметку проводят второй луч. Так получается угол с заданной градусной мерой.
| Вид угла | Как соотносятся стороны | Градусная мера |
|---|---|---|
| Острый угол | Стороны образуют угол меньше прямого | Меньше 90° |
| Прямой угол | Стороны перпендикулярны друг другу | 90° |
| Тупой угол | Стороны образуют угол больше прямого, но меньше развёрнутого | Больше 90°, но меньше 180° |
| Развёрнутый угол | Стороны являются противоположными лучами и лежат на одной прямой | 180° |
Сначала сравни угол с прямым и развёрнутым, чтобы определить его вид. Затем сверь сравнение с градусной мерой в таблице. Границы помогают проверить, не перепутан ли вид угла.
Задача 1. Измерить угол, изображённый в тетради, с помощью транспортира. Конкретный результат зависит от самого изображения, поэтому его нужно считать по делениям, а не угадывать. Действуем по порядку.
Задача 2. Построить угол величиной 65° с помощью транспортира. Нужно начать с одного луча и отложить от него поворот на 65°. Отметка должна лежать на шкале, ноль которой совмещён с лучом.
Задача 3. Угол ABC равен 120°. Луч BD делит его на два угла, один из которых равен 45°. Найти градусную меру второго угла. Луч внутри угла делит целый угол на две части, поэтому их меры вместе составляют 120°. Чтобы найти неизвестную часть, из меры целого угла вычтем известную.
Центр транспортира иногда ставят рядом с вершиной, а не точно на неё. Так происходит, если не найти место, где стороны угла начинаются вместе. В результате деления относятся к другой точке, и измерение получается неверным. Проверь себя: вершина должна совпадать с центральной отметкой транспортира.
Другая ошибка — начинать отсчёт не от нуля, совмещённого со стороной. Ученик может прочитать число возле второй стороны, не проверив начало шкалы. Тогда отсчёт не показывает поворот от первой стороны. Перед чтением найди нулевую отметку и убедись, что она лежит на стороне угла.
На транспортире две шкалы, и из-за этого можно прочитать дополнительное до 180° число. Например, у одной и той же точки делений шкалы показывают числа, сумма которых равна 180°. Чтобы проверить себя, выбери шкалу с нулём у совмещённой стороны и сравни результат с видом угла: острый угол не может оказаться больше 90°.
Иногда считают, что угол с более длинными сторонами обязательно больше. Так можно подумать, если сравнивать только размер нарисованных линий. Но длина лучей не меняет поворота между ними. Проверь себя, мысленно продлив короткие стороны: если направления сторон сохраняются, величина угла остаётся той же.
Для работы с углами нужно распознавать луч, вершину и стороны угла, а также уметь пользоваться линейкой. Эти знания помогают правильно читать чертёж и размещать транспортир. Измерение углов пригодится при построении геометрических фигур, а позже — при изучении треугольников и многоугольников. Например, по углам можно сравнивать фигуры и точнее выполнять их чертежи.
Почему угол не меняется, если удлинить его стороны?
Величина угла зависит от поворота одной стороны относительно другой, а не от длины лучей. Если продлить стороны, их направление останется прежним, поэтому угол не изменится.
Как понять, какую шкалу транспортира читать?
Найдите шкалу, у которой отметка 0° расположена у стороны, совмещённой с транспортиром. По этой шкале считайте до точки, где проходит вторая сторона. Если начать с другой шкалы, можно получить число, дополняющее нужный угол до 180°.
Что делать, если сторона угла не совпадает с делениями транспортира?
Смотрите, возле какого деления проходит сторона, и считайте по ближайшему делению подходящей шкалы. Если сторона проходит между делениями, измерение будет приблизительным. Для более точного результата совместите транспортир аккуратно и проверьте положение луча.
Можно ли измерить угол без транспортира?
Точно измерить произвольный угол без специального инструмента обычно нельзя. Можно сравнить его с прямым или развёрнутым углом, если они даны, и оценить величину. Для точного измерения используют транспортир.
Как проверить, правильно ли построен угол заданной величины?
Измерьте построенный угол транспортиром: центр должен находиться в вершине, а ноль — у одной из сторон. Затем проверьте, что вторая сторона проходит через нужную отметку. Полезно также убедиться, что прочитана шкала, начинающаяся с нуля у первой стороны.
8.1. Как измерить угол
