§ 8. Измерение углов

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало лучей называют вершиной, а сами лучи — сторонами угла. На чертеже вершина выглядит как точка, из которой выходят две стороны. Эти названия помогают понять, какие части фигуры нужно совместить с транспортиром.

Градус — единица, которой измеряют углы. Представь полный оборот вокруг точки: его делят на 360 равных частей, и одна такая часть называется одним градусом. Эта единица позволяет сравнивать углы не только на глаз, но и точно. Без общей единицы два человека могли бы по-разному описать один и тот же угол.

Градусная мера угла — число, которое показывает величину угла в градусах. После числа ставят маленький знак °: например, запись 50° читают «пятьдесят градусов». Чем больше градусная мера, тем шире угол. Такая запись позволяет кратко сообщить результат измерения.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов. На его шкале нанесены деления с числами, а в середине прямой стороны обычно отмечен центр. Шкала помогает определить градусную меру, а центр — правильно расположить инструмент относительно вершины. Без точного положения транспортира показание может оказаться неверным.

Как это устроено

Углы можно сравнить, приложив один к другому: если стороны одного угла расположатся внутри другого, первый угол меньше. Но так получается не всегда, например, если углы нарисованы в разных местах или один из них нельзя удобно передвинуть. Для точного сравнения нужна общая единица, чтобы вместо впечатления «шире» получить число. Такой единицей служит градус.

Чтобы получить градус, полный оборот вокруг одной точки условно делят на 360 одинаковых частей. Каждая часть обозначает поворот на один градус, а весь поворот — на 360°. Деление выбирают одинаковым, чтобы измерения разных людей совпадали. Поэтому угол можно представить как число таких частей, которое помещается между его сторонами.

На транспортире отмечены центр и нулевая линия, от которой начинают отсчёт. Часто на нулевой линии стоят две отметки 0°, а дальше расположены две шкалы, растущие в противоположных направлениях. Это нужно потому, что сторона угла может быть направлена как влево, так и вправо. Сначала найди центр и отметку нуля, а затем проследи, в какую сторону увеличиваются числа.

Для измерения сначала совмести центр транспортира с вершиной угла. Затем поверни инструмент так, чтобы нулевая линия совпала с одной стороной; именно от неё начнётся отсчёт. Посмотри, через какое деление проходит другая сторона, и прочитай число на шкале. Если стороны не совпадают с линиями транспортира, показание нельзя считать надёжным: сначала поправь положение инструмента.

Выбирать шкалу нужно по стороне, с которой начали отсчёт: у неё на нужной шкале должно быть 0°. Две шкалы показывают числа в разных направлениях, поэтому одинаковая точка может соответствовать разным показаниям. Проверь, что от нуля к другой стороне числа увеличиваются именно по выбранной шкале. Величина угла должна соответствовать расположению сторон: например, угол, который шире прямого, не может иметь меру меньше 90°.

Измерение углов транспортиром

Пользуйся таблицей по порядку: сначала правильно положи транспортир, затем выбери нулевую линию и шкалу. Только после этого считывай показание у второй стороны. Перед записью результата проверь, что выбранное число подходит к положению угла.

Разбор задач

Задача 1. Одна сторона угла направлена вправо, а другая проходит через отметку 50° на транспортире. Нужно измерить угол. Сначала важно определить, от какой стороны начинается отсчёт: здесь нулевая линия совпадает со стороной, направленной вправо. Значит, выбирать следует шкалу, на которой у этой стороны стоит 0°.

1. Совместим центр транспортира с вершиной угла.
2. Положим нулевую линию вдоль стороны, направленной вправо.
3. Найдём шкалу, начинающуюся у этой стороны с 0°, и посмотрим на деление у второй стороны.
4. Вторая сторона проходит через отметку 50°, поэтому записываем найденную меру.

Ответ: угол равен 50°. Если случайно прочитать другую шкалу, показание будет неверным, поэтому нужно каждый раз начинать отсчёт от нуля у совмещённой стороны.

Задача 2. Стороны угла пересекают шкалы транспортира у чисел 130° и 50°. Нужно определить градусную меру, не перепутав шкалы. Само по себе число у второй стороны ещё не даёт ответа: нужно выяснить, какое число относится к шкале, на которой ноль расположен у первой стороны. Сравним направления шкал с направлением отсчёта от этой стороны.

1. Совместим центр транспортира с вершиной и нулевую линию с одной стороной угла.
2. Найдём у этой стороны отметку 0° и определим соответствующую ей шкалу.
3. Проследим по этой шкале до второй стороны: нужное показание на ней равно 130° либо 50° — в зависимости от того, с каким нулём совмещена первая сторона.
4. Проверим результат по чертежу: если угол шире прямого, его мера больше 90°, если уже — меньше.

Ответ: выбирают показание той шкалы, которая начинается с нуля у совмещённой стороны; одного списка чисел 130° и 50° недостаточно, чтобы назвать единственное значение без положения нулевой отметки. Проверка по ширине угла помогает обнаружить перепутанную шкалу.

Задача 3. Построить угол величиной 120° с заданной вершиной и одной стороной. В этом случае транспортир нужен не для чтения готового угла, а чтобы отметить направление второй стороны. Сначала нужно расположить инструмент так, чтобы известные элементы совпали с его центром и нулевой линией.

1. Совместим центр транспортира с заданной вершиной.
2. Положим нулевую линию вдоль заданной стороны и выберем шкалу, у которой здесь стоит 0°.
3. Найдём на этой шкале отметку 120° и поставим рядом с ней точку.
4. Уберём транспортир и проведём луч из вершины через отмеченную точку.

Ответ: получен угол 120°. Чтобы проверить построение, снова приложи транспортир: его центр должен совпасть с вершиной, а вторая сторона — пройти через отметку 120° на выбранной шкале.

Типичные ошибки

Если совместить с вершиной не центр транспортира, а соседнюю отметку, стороны угла окажутся смещены относительно шкалы. Ошибка возникает, когда центр инструмента не замечают или принимают за него другое место. Из-за смещения показание может отличаться от настоящей меры. Проверь себя: вершина должна точно находиться у отметки центра.

Если нулевая линия не совпадает со стороной угла, отсчёт начинается не от 0°. Тогда даже правильное деление на шкале не покажет меру угла. Так случается, когда транспортир кладут приблизительно, не проверяя направление стороны. Проведи взглядом вдоль стороны и убедись, что она лежит на нулевой линии.

Чтение неправильной шкалы даёт другое число для той же отметки. Обычно так происходит, если ученик смотрит только на деление у второй стороны и забывает, где находится ноль. Чтобы проверить себя, найди 0° у совмещённой стороны и считай по шкале, числа на которой растут в сторону второй стороны. Затем сравни результат с шириной угла.

Нельзя принимать любое число на шкале за ответ, не проверив положение второй стороны. Иногда кажется, что луч направлен на отметку, хотя он проходит рядом или между делениями. Ошибка возникает из-за невнимательного считывания или смещённого транспортира. Проверь, что луч действительно пересекает нужное деление; если он проходит между рисками, не выдавай показание за точное.

Связь с другими темами

Перед измерением нужно знать, из каких частей состоит угол: уметь находить вершину и стороны на чертеже. Тогда будет понятно, какие элементы совмещать с центром и нулевой линией транспортира. Эти знания помогают аккуратно читать геометрические рисунки. Если перепутать вершину со стороной, правильно измерить угол не получится.

Измерение углов используют при построении геометрических фигур и решении задач, где нужно сравнить углы или определить их величину. Транспортир помогает точно задать направление стороны при построении. Знание меры также позволяет различать углы по величине. Поэтому навык измерения пригодится в следующих геометрических темах.

Что запомнить

• Углы измеряют в градусах.
• Полный оборот равен 360°.
• Меру угла записывают числом с символом °.
• Центр транспортира совмещают с вершиной угла.
• Нулевую линию транспортира совмещают с одной стороной угла.
• Шкалу выбирают по тому, где у стороны угла находится отметка 0°.