§ 2. Измерение углов

Определения и обозначения

Угол — это фигура, образованная двумя лучами, имеющими общее начало. Общая точка называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол нужен, чтобы описывать поворот, наклон и положение линий относительно друг друга.

Градус — единица измерения углов, обозначаемая знаком °. Полный оборот разделён на 360 равных частей, поэтому одна такая часть равна 1°. Градусная мера показывает, насколько одна сторона угла повернута от другой.

Угол записывают знаком ∠ и буквами, например ∠ABC. Средняя буква B обязательно обозначает вершину, а крайние буквы — точки на сторонах. Для измерения используют транспортир: его шкалы помогают определить число градусов между сторонами угла.

Как это устроено

Две стороны угла могут быть направлены по-разному, поэтому одних слов «широкий» или «узкий» недостаточно для точного сравнения. Градусная мера превращает величину угла в число: угол 60° меньше угла 100°, потому что 60 частей полного оборота меньше 100 таких частей. Чем сильнее одна сторона отклонена от другой, тем больше градусная мера.

На транспортире есть центр, прямая нулевая линия и две шкалы делений. Две шкалы нужны потому, что измерять угол можно, расположив его первую сторону слева или справа. Начинать отсчёт следует с нулевой отметки, которая лежит на совмещённой стороне, иначе получится число для другого направления и возникнет ошибка.

Чтобы измерить угол, сначала помещают центр транспортира точно на его вершину. Затем нулевую линию совмещают с одной стороной, а вторую сторону мысленно продолжают до шкалы. Деление, через которое проходит эта сторона, показывает градусную меру угла.

Углы делят по величине, потому что это помогает быстро распознавать их и использовать свойства фигур. Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°, а развёрнутый равен 180°. Если две стороны совпадают по направлению, получается угол 0°; он встречается как результат полного совмещения лучей.

Виды углов и их меры

Сначала оцените угол на глаз и сравните его с прямым углом. Затем уточните результат транспортиром, если нужна точная мера.

При чтении шкалы ищите не просто число возле луча, а шкалу, начинающуюся с нуля на первой стороне угла. Так таблица помогает не только назвать вид угла, но и проверить, не перепутаны ли показания.

Разбор задач

Задача 1. Лучи OA и OB образуют угол AOB. Нужно измерить его транспортиром и назвать вид, если сторона OA совмещена с нулевой линией, а луч OB проходит через отметку 65°.

1. Вершина угла — точка O, поэтому центр транспортира помещаем именно в O.
2. Нулевую линию совмещаем со стороной OA. Это задаёт начало отсчёта.
3. Находим шкалу, где у OA стоит 0°, и смотрим, через какое деление проходит OB. Получаем 65°.
4. Сравниваем 65° с 90°: число меньше 90°, значит угол острый.

Ответ: ∠AOB = 65°, угол острый.

Задача 2. Угол ABC состоит из двух соседних углов: ∠ABD = 38° и ∠DBC = 47°. Найдём градусную меру всего угла ABC и определим его вид.

1. Луч BD находится внутри угла ABC, поэтому весь угол складывается из двух частей.
2. Записываем сумму: ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.
3. Подставляем известные меры: ∠ABC = 38° + 47° = 85°.
4. Число 85° меньше 90°, поэтому получившийся угол острый.

Ответ: ∠ABC = 85°, угол острый. Проверка показывает, что 85° немного меньше прямого угла, что соответствует расположению сторон.

Типичные ошибки

Ошибка 1: центр транспортира ставят не в вершину. Тогда стороны угла проходят рядом с делениями и показание получается неточным. Проверьте себя: точка вершины должна находиться точно под отметкой центра.

Ошибка 2: выбирают не ту шкалу. Ученик видит число 120 вместо правильных 60°, потому что начинает отсчёт не с нуля на первой стороне. Перед чтением найдите именно ту шкалу, где совмещённая сторона пересекает отметку 0°.

Ошибка 3: путают вершину при записи угла. В записи ∠ABC вершиной является только средняя буква B. Чтобы проверить запись, назовите общую начальную точку двух лучей и поставьте её в середину обозначения.

Ошибка 4: неверно называют вид угла. Иногда угол 90° называют острым или тупым, хотя он прямой. Сверяйте результат с границами: острый меньше 90°, тупой больше 90° и меньше 180°.

Связь с другими темами

Измерение углов связано с геометрическими фигурами. В квадрате и прямоугольнике все углы прямые, а в треугольнике сумма трёх углов равна 180°, поэтому знание градусной меры помогает находить неизвестные углы.

Углы встречаются и в координатах, поворотах, черчении и задачах на движение. Навык работы с транспортиром дополняет измерение отрезков линейкой: длину сравнивают в сантиметрах, а поворот — в градусах.

Что запомнить

• Угол состоит из двух лучей с общей вершиной.
• Градусная мера угла записывается числом со знаком °.
• В записи ∠ABC вершина обозначается средней буквой.
• При измерении центр транспортира совмещают с вершиной, а нулевую линию — со стороной угла.
• Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°.
• Развёрнутый угол равен 180°.
• Для соседних частей угла справедливо правило: градусные меры складываются.