§ 3. Основное свойство градусной меры

Определения и обозначения

Градусная мера угла — числовая величина, показывающая, сколько градусов содержит угол. Её записывают с помощью числа и знака °, например 38°. Мера нужна, чтобы точно сравнивать углы и выполнять вычисления.

Градус — единица измерения углов; один градус составляет 1/180 часть развернутого угла. Обозначение градуса — °. Благодаря этой единице любой угол можно выразить числом.

Развернутый угол — угол, стороны которого являются продолжением одного луча. Его градусная мера равна 180°. Он служит удобным эталоном для определения других углов.

Основное свойство градусной меры утверждает: если внутренний луч разделяет угол на два угла, мера исходного угла равна сумме мер его частей. Например, ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Это правило помогает находить как весь угол, так и его неизвестную часть.

Как это устроено

Угол можно поворачивать, поэтому для его измерения нужно описывать не длину сторон, а величину поворота от одного луча к другому. Развернутый угол принимают за 180 равных долей. Каждая такая доля называется градусом, поэтому градус показывает небольшую часть полного разворота.

Прямой угол получается, когда стороны развернутого угла разделены пополам. Поэтому его мера равна 180° : 2 = 90°. Зная эти два эталона, можно понимать, где находятся острые углы меньше 90° и тупые углы больше 90°.

Чтобы измерить угол транспортиром, сначала совмещают его центр с вершиной угла. Прямую сторону угла накладывают на основание транспортира, а затем выбирают шкалу, где отсчёт 0° начинается именно от этой стороны. Показание у второй стороны угла и есть его градусная мера, которую записывают, например, так: ∠AOB = 47°.

Если луч проходит внутри угла, он начинается в его вершине и делит область угла на две части. Эти части имеют общую сторону — внутренний луч, но внутри общего угла не перекрываются. Поэтому границы двух частей вместе образуют границы исходного угла, а их меры можно сложить.

Из основного свойства получаются два способа вычислений. Если известны меры частей, их складывают: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB; если известны весь угол и одна часть, из целого вычитают известную часть. Складывать и вычитать можно только тогда, когда углы составляют один общий угол без наложения друг на друга.

Основное свойство градусной меры и связанные случаи

В таблице сначала определите, является ли данный угол целым или его частью. Затем выберите действие по известным данным: сложение, вычитание или проверку. Формулы работают, когда части расположены последовательно и не перекрываются.

Разбор задач

Задача 1. Луч OC проходит внутри угла AOB. Известны ∠AOC = 38° и ∠COB = 57°. Нужно найти весь угол AOB, потому что его части расположены последовательно и образуют один общий угол.

1. Записываем основное свойство: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB.
2. Подставляем известные значения: ∠AOB = 38° + 57°.
3. Складываем меры: ∠AOB = 95°.

Ответ: ∠AOB = 95°. Получившийся угол тупой, так как его мера больше 90° и меньше 180°.

Задача 2. Луч OC проходит внутри угла AOB, равного 125°. Известно, что ∠AOC = 76°, а ∠COB неизвестен. Сначала представим 125° как сумму двух частей, затем найдём неизвестное слагаемое.

1. Записываем равенство: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB.
2. Выражаем неизвестную часть: ∠COB = ∠AOB − ∠AOC.
3. Вычисляем: ∠COB = 125° − 76° = 49°.

Ответ: ∠COB = 49°. Проверка даёт 76° + 49° = 125°, значит, вычисление выполнено верно.

Задача 3. Развернутый угол разделён на три части, меры которых относятся как 2:3:4. Сумма долей отношения равна 2 + 3 + 4 = 9, а весь угол содержит 180°. Значит, сначала нужно определить меру одной доли.

1. Находим одну долю: 180° : 9 = 20°.
2. Умножаем одну долю на числа отношения: 2 · 20° = 40°, 3 · 20° = 60°, 4 · 20° = 80°.
3. Проверяем сумму: 40° + 60° + 80° = 180°.

Ответ: меры трёх углов равны 40°, 60° и 80°. Их сумма совпала с мерой развернутого угла.

Типичные ошибки

Складывают неподходящие углы. Иногда складывают любые два нарисованных угла, хотя они не являются частями одного общего угла или перекрываются. Проверьте, расположены ли части последовательно и нет ли общей внутренней области.

Путают меру с длиной сторон. Длинные стороны не означают больший угол, потому что мера зависит от раскрытия между лучами. Представьте, что стороны продолжили или укоротили: если раскрытие не изменилось, мера останется прежней.

Получают отрицательную меру части. Такая ошибка возникает, когда из меньшего числа вычитают большее или выбирают неправильные данные. Сначала убедитесь, что мера всего угла не меньше меры его части, а затем проверьте ответ сложением.

Неверно используют транспортир. Причиной бывает неправильная шкала или несовпадение центра транспортира с вершиной угла. Проверьте центр, положение нулевой отметки и то, что вторая сторона проходит через считанное деление.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно знать, что такое луч, вершина и стороны угла, а также различать острый, прямой, тупой и развернутый углы. Ещё понадобится умение пользоваться транспортиром. Эти знания позволяют не только измерять, но и правильно складывать меры углов.

Свойство используется в задачах на смежные и вертикальные углы, при проведении нескольких лучей внутри угла и построении геометрических фигур. Оно помогает переводить рисунок с углами в понятные равенства. Так легче находить неизвестные величины.

В треугольниках и других многоугольниках также складывают меры частей и используют известные суммы углов. Поэтому навык работы с градусной мерой станет основой для дальнейшего изучения геометрии.

Что запомнить

• Градус — единица измерения углов.
• Развернутый угол имеет меру 180°.
• Прямой угол имеет меру 90°.
• Мера угла, разделённого внутренним лучом, равна сумме мер его частей.
• Неизвестную часть угла находят вычитанием её известной части из меры всего угла.
• Суммировать можно только меры углов, которые составляют общий угол без перекрытия.